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Le produit de deux dénombrables est dénombrable

Posté par
H_aldnoer 22-09-07 à 13:08

Bonjour!

Dans un exercice de td j'ai pas compris un truc :
on a montré que l'application f définie par f(k)=(k-\frac{n(n+1)}{2},\frac{n(n+3)}{2}-k) avec \frac{n(n+1)}{2}\le k\le \frac{n(n+3)}{2} est une bijection de \mathbb{N} sur \mathbb{N}\times\mathbb{N} ... Ok!

Ensuite on demande de déduire que le produit de deux ensemble dénombrables est dénombrable.
Donc je prend E et F ces deux ensembles :
\exist \alpha:E\to\mathbb{N} bijective
\exist \beta:F\to\mathbb{N} bijective

Pour montrer que E\times F est dénombrable il faut trouver une application E\times F\to\mathbb{N} bijective ??

Je pense prendre :
\gamma :E\times F\to\mathbb{N}\times \mathbb{N} telle que \gamma (e,f)=(\alpha(e),\beta(f))

f^{-1} :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N} f définie juste avant, f étant bijective.

Il me reste a montrer que f^{-1} o \gamma est bijective ?

Posté par
Rodrigore : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:11

Il serait plus judicieux ici de prouver qu'il existe f:N->E*F bijective...

Posté par
Rodrigore : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:12

Cela dit ce que tu proposes est juste, et effectivement il suffit de prouver que l'application f^{-1}\circ \gamma ce qui est trivial

Posté par
H_aldnoerre : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:18

On définit alors l'application :
p:\mathbb{N}\to E\times f par
p=\gamma o f avec

f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\times\mathbb{N} bijective définit avant et \gamma:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to E\times F telle que \gamma (e,f)=(\alpha(e),\beta(f))

Posté par
H_aldnoerre : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:21

Citation :
ce qui est trivial


Pas de souci a priori pour l'injectivité, un peu plus pour la surjectivité !

Posté par
Rodrigore : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:22

Heu plus généralement la composée de deux bijections est une bijection...

Posté par
H_aldnoerre : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:26

f étant bijective, f^{-1} l'est aussi, et comme \alpha et \beta sont bijectives, \gamma l'est aussi ?

Posté par
Rodrigore : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:30

Exact

Posté par
H_aldnoerre : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:31

Merci Rodrigo!

Posté par
H_aldnoerre : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:35

Tu as une idée pour montrer ceci :
Montrer que la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable

? (ça fait beaucoup de dénombrable pour ma p'tite tête !)

Posté par
Rodrigore : Le produit de deux dénombrables est dénombrable 22-09-07 à 13:36

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_d%C3%A9nombrable


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