slt, s'il vous plait je veux savoir la différence entre le sup, le max et le majorant d'une fonction???

*** message déplacé ***

Si t'as une fonction f défini sur un ensemble A.

Le max de ta fonction (s'il existe!) est la plus grande valeur atteinte par ta fonction.
UN majorant (s'il y en a un, il y en a une infinité) de ta fonction est n'importe quelle valeur M telle que pour tout élément x de A f(x) M  (un max est un majorant)
Le sup est le plus petit des majorants de ta fonction.

Par exemple, la fonction f de [0; 1[ [0; 1[ telle que f(x) = x admet n'importe quel réel plus grand que 1 comme majorant, admet 1 comme sup, et n'admet pas de max .

Bonjour !
Soit .

est majorée par (on dit encore que majore ) si .

c'est la borne supérieure de l'ensemble : c'est un réel fini dès que est majorée, sinon on dit parfois que est la borne supérieure (mais il vaut mieux éviter).

Supposons majorée. Il existe alors un réel .
1. Il peut arriver qu'il existe tel que . On dit alors que la borne supérieure est atteinte, ou que a un maximum et on note également la borne supérieure.
2. Si la valeur n'existe pas : (par exemple , et ou ) il n'y a pas de "max".

*** message déplacé ***

bonjour : )

Soit A une partie de ℝ et f : A ℝ.

Définition : fonction majorée
On dit indifféremment que f est majorée sur A, ou que f est majorée par M sur A ou que M majore f sur A si : .

Attention* : On parle dans ce cas d'UN majorant de f sur A. (Le mot UN est très important car un majorant, s'il existe, n'est JAMAIS UNIQUE.) En effet si le réel M est un majorant, alors les réels {M' = M + e, e > 0} sont des majorants de f également.
Attention** : Un majorant est un REEL.

Remarque : Un fonction n'atteint pas nécessairement son plus petit majorant. Par exemple la fonction arctan est majorée par pi/2.


Définition : fonction minorée
On dit indifféremment que f est minorée sur A, ou que f est minorée par m sur A ou que m minore f sur A si : .

Les remarques précédentes sont encore valables, on parle d'UN minorant (car s'il existe alors il est non unique), un minorant est un REEL, et une fonction n'atteint pas nécessairement son plus grand minorant (par exemple la fonction arctan est minorée par -pi/2).


Définition : fonction bornée
On dit que f est bornée sur A si f est à la fois majorée et minorée sur A c'est à dire si :


Soit .

Définition : maximum d'une fonction
On dit que f admet un maximum en a si : . Le réel f(a) est appelé le maximum de f en a et on le note indifféremment ou .

Attention* : Une fonction peut ne pas avoir de maximum. Celui-ci, quand il existe peut être atteint en plusieurs points différents. Par exemple la fonction cosinus atteint son maximum : 1 pour tous les multiples de 2pi.

Attention** : Le maximum APPARTIENT à l'ensemble image de la fonction. Sur A une partie de ℝ, le maximum de f est un majorant également mais un majorant peut ne pas être un maximum.
(Différence entre maximum et majorant.)

Remarque : Un maximum peut être global (absolu) ou local...


Définition : minimum d'une fonction
On dit que f admet un minimum en a si : . Le réel f(a) est appelé le minimum de f en a et on le note indifféremment ou .

Les remarques précédentes sont encore valables, sur une partie A de ℝ, un minimum est un minorant mais un minorant n'est pas toujours un minimum. Un minimum peut-être global ou local.


Un extremum est un maximum ou un minimum.


Soit B une partie de ℝ.

Définitions : borne supérieure ou supremum et borne inférieure ou infimum
S'il existe, le plus petit majorant de B est appelé LA borne supérieure de B et est noté sup B.
S'il existe, le plus grand minorant de B est appelé LA borne inférieure de B et est noté inf B.

On pose et , qu'on peut également noter respectivement et et qu'on appelle supremum ou borne supérieure et infimum ou borne inférieure de f sur A.

Remarque* : Le supremum et l'infimum d'un sous-ensemble de ℝ, lorsqu'ils existent, ne sont pas à priori des éléments de l'ensemble considéré.
Cependant, si la partie admet un plus grand élément (ou un plus petit élément) alors celui-ci est unique et on parle alors de LA borne supérieure (ou LA borne inférieure) et on a (et ).

Remarque** : Si f est majorée alors est le plus petit des majorants de f.
Si f n'est pas majorée alors
On peut réécrire ces résultats avec minorée.

*** message déplacé ***

Bonjour.

Rajoutons que s'il existe un max, alors c'est un sup.
Et s'il existe un sup, alors c'est un majorant.

merci infiniment pour la réponse