Bonjour chona195.
Peux-tu préciser la teneur exacte du théorème de Bolzano Weierstrass que tu possède ? Merci à toi

La théorème est la suivante : de toute suites borné en peut extraire des suites convergente
Il faut la démontré suivant des consignes:
1- on considère une suite borné Xn tel que /Xn={Um/m> n}
Montrer que Xn admet une borne inf note Vn
2-montrer que Vn converge vers            l=sup inf Un
3-en utilisant le caractérisation de la borne inf  construire une suite qui converge vers l
4 de  meme construire une suite extraite de Un qui converge vers L=inf sup Un

Merci chona195.
Tu as précisé que tu devais utiliser "les notions de bornes inf et sup".
Il faut donc que tu dises dans quel espace tu travailles car dans un espace métrique quelconque, la notion de borne supérieure (inférieure) n'est pas forcément définie.

Marci jsvdb pour votre réponse
En disant la vérité je n'ai sais pas auquel espace  on travaille et on pas encore aborder la notion de espace métrique
La question c'était de démontrer ce théorème en utilisant des consignes ça bien sur une rapport avec les suites et les ensembles ordonnés

Donc vous travaillez dans ?

Exactement

Okay, je comprends mieux maintenant.
Donc, pour répondre aux consignes :

1-
Toute partie bornée de admet une borne inférieure.

Si est une suite bornée, alors toutes ses sous-suites le sont.
En particulier, pour tout , la suite est bornée.
Par conséquent, l'ensemble est borné pour tout k et admet donc une borne inférieure.
On note cette borne inférieure.

2- La suite d'ensemble est décroissante au sens où . En effet .
Il s'ensuit donc que et donc et la suite est croissante.
Par ailleurs, la suite est majorée par . Elle admet donc une limite qui est

Il faut bien comprendre ici que la suite n'est pas forcément extraite de . D'où la question suivante :

3- étant la borne inférieure de l'ensemble ,
la caractérisation de la borne inférieure nous dit que pour tout .
En prenant

Ici, on a bien construit une sous-suite de la suite . Et cette sous-suite va avoir la même limite que , savoir .

En effet, pour tel que .

On a donc


4- Je te laisse reproduire le même schéma de 1- à 3-, mais avec la suite .
______________________________________________
Attention : les suites et peuvent ne pas avoir la même limite.
Il suffit par exemple de considérer = l'ensemble des rationnels de l'intervalle mis sous forme d'une suite.
V est alors la suite constante 1
v est la suite suite constante 0.

Merciiiiiii infiniment vraiment tu m'a sauvé