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Niveau terminale
Le Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)
Posté par Mathes1
Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Montrer l'équation :
x+sin(x)-1=0 admet une unique solution dans l'intervalle I=[0;π/2]
alors je propose
On note g(x)=x+sin(x)-1
g est continue sur [0;π/2] car :
*x
x est continue sur IR (en particulier sur [0;π/2] qui est inclus dans IR
*x sin(x)-1 continue sur IR (en particulier sur [0;π/2] qui est inclus dans IR.
D'où g est continue en tant que somme de deux fonctions continues
calculons g(0) et g(π/2)
g(0)= -1 et g(π/2)=π/2
g(0)*g(π/2)= -1×π/2= -π/2 <0
étudiant la monotonie de la fonction g
g est dérivable en IR et on a pour tout x dans IR
g'(x)=0 <=>1+cos(x)=0 <=>
cos(x)=-1 <=> x=π+2kπ avec k
Une petite indication s'il vous plaît pour tracer le tableau de variation
Pour déterminer la monotonie (croissant ou décroissant)
Merci beaucoup d'avance
Sa
Pour étudier la monotonie de g, c'est le signe de g' qu'il te faut étudier, pas seulement les valeurs qui l'annulent.
En d'autres termes, résous plutôt g'(x) > 0 que g'(x)=0
Bonjour,
Merci beaucoup de m'avoir répondu !
Donc directement cos x >-1 <=> g'(x)>0 ?
Donc la fonction g est strictement croissant
Ça veux dire que d'après le Théorème des valeurs intermédiaires on a l'équation x+sin (x)-1=0
admet un unique solution dans [0;π/2]
cos x >-1 est vrai pour tout réel x, donc g'(x)>0 et donc la fonction g est strictement croissante : oui.
Pour conclure, n'oublie pas de rajouter : g(0)= -1 et g(π/2)=π/2.
Bonjour à tous,
Merci beaucoup à vous deux pour vos indications
Conclusion :
On a la fonction g continue sur [0;π/2]
g(0)g(π/2)<0
Et la fonction g est croissant ctrictement
D'après le Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I)
On a l'équation x+sin(x)-1=0 admet une unique solution dans [0;π/2]
Merci beaucoup