Bonsoir à tous,

Je cherche à comprendre la démonstration du lemme suivant :
Soit k un corps et A une k-algèbre de type fini et intègre. Alors il existe des éléments y₁,..,y_d dans A algébriquement indépendants tels que A soit entière sur k[y₁,..,y_d]. De plus d est le degré de transcendance du corps des fractions de A sur k.

Preuve :
Soit x₁,..,x_n des générateurs de A sur k. S'ils sont algébriquement indépendants on a fini. Sinon on a une relation a_(j)x₁^j1..x_n^jn=0 où a_(j)k* et la somme est prise sur un nombre fini de n-uplets d'entiers positifs (j1,..,jn).
Soit m2,..,mn des entiers positifs. On pose y₂=x₂-x₁^m2 ; .. ; y_n=x_n-x₁^mn et on injecte dans la relation.
En notant de manière vectorielle (m)=(1,m2,..,mn) (j)=(j1,..,jn) et (j).(m) le produit scalaire usuel j1+j2.m2+..+jn.mn on obtient une relation de la forme
a_(j)x₁^(j).(m) + f(x₁,y₂,..,y_n)=0 où f est un polynôme où aucune puissances de x₁ n'apparait seul.
En prenant d un entier suffisamment grand, par exemple plus grand que toutes les composantes de tous les (j) et en posant (m)=(1,d,d²,..,d^n-1) alors tous les (j).(m) sont distincts par unicité de l'écriture d'un entier en base d. Et la relation nous montre que x₁ est entier sur k[y₂,..,y_n].

Je ne comprend pas ce dernier paragraphe : premièrement je ne vois pas à quoi sert un tel d et deuxièmement je ne vois pas pourquoi le polynôme est unitaire.

Merci de votre aide.