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Lemme de Riemman Lebesgue sur un evn

Posté par
Louloopings
17-04-24 à 16:09

Bonjour à tous et merci d'avance de votre aide, je quelques question en essayant de faire l'analogie entre l'intégration sur ℝ et Celle sur E un evn de dimensions finis.

1) On sait que le lemme de Riemman Lebesgue (ie que si f : I -> ℂ est intégrable et continue alors  ∫f(x)e^(iλx)dx  tend vers 0 si λ tend vers +infini)  est vérifié sur ℝ et ℂ. Je me demande si Il l'est sur E un evn de dimension finis ?
A priori, sachant que ε([a,b],E) (fonction en escalier) est dense dans Cpm([a,b],E) (fonction continue par morceau) Le lemme à l'air vraie si I = [a,b] et dans le cas ou I est un intervalle qcq : On prend une suite de segment de I qui converge vers I comme f est intégrable ça marcherait aussi mais j'ai un doute car tout les énoncé trouvé sur le note se limite à ℂ (c'est bizarre en plus car ℂ étant de dimension 2, il est normalement facile de généralisé à une dimension quelconque)

2) Y'a t'il des résultats d'intégration vue en CPGE qui ne se généralise pas au espaces vectoriels normées et dont il faut se méfier ? Je crois par exemple que les formules de la moyenne ne sont valable que sur ℝ…

Merci d'avance de votre réponse,
Bonne Journée

Posté par
Balam
re : Lemme de Riemman Lebesgue sur un evn 17-04-24 à 19:00

Salutations,

1) Le lemme de Riemman-Lebesgue se généralise à des fonctions à valeurs dans un \mathbb{C}-ev de dimension finie, il suffit de d'appliquer la version du lemme qui est valide sur \mathbb{C} aux fonctions coordonnées dans une base quelconque.

La raison pour laquelle tu n'as rien trouvé est probablement parce que, en mathématiques, on intègre jamais des fonctions à valeurs dans un \mathbb{C}-ev de dimension finie car, pour le dire vulgairement, tout le monde s'en fout. Au final tous les résultats intéressants se ramènent à intégrer des fonctions à valeurs dans \mathbb{C}. Ce qui est beaucoup plus intéressant en revanche, c'est de pouvoir intégrer des fonctions définies sur des ensembles plus exotiques, au lieu de se borner à intégrer sur un intervalle.

2) De manière générale, il faut se méfier des théorèmes qui nécessitent, sous une forme ou sous une autre, le théorème de Rolle.  Ces derniers ne se généralisent que partiellement à des dimensions supérieurs. Les théorèmes de la moyenne et les théorèmes des accroissements finis en font parties.
     A part cela, je ne vois aucun théorème d'intégration qui ne se généralise pas à des dimensions supérieurs (et finis).

J'espère t'avoir éclairé,
Bonne journée à toi.

Posté par
Louloopings
re : Lemme de Riemman Lebesgue sur un evn 18-04-24 à 10:01

Bonjour,
Premièrement merci de votre réponse complète qui m'a totalement éclairé et effectivement, il est vrai que je ne vois que rarement des problème/exercice portant sur des fonctions à valeur dans un ℂ-evn de dimension fini.

Pour les ensemble plus exotique dont vous faite allusion (par simple curiosité) vous voulez dire des ensembles de ℝ qui ne sont pas des intervalles ? Genre intégrer une fonction sur ℝ\Q ? Ou alors carrément l'intégration de fonction d'un evn sur un autre evn ? Car ou voit en CPGE la continuité de tel application mais pas leur dérivabilité (qui existe ?) et donc encore moins l'intégration de ces dernières…

Bien à vous ,
Louis A

Posté par
Balam
re : Lemme de Riemman Lebesgue sur un evn 18-04-24 à 15:03

Salutations,

La théorie de l'intégration vue en CPGE, dite "de Riemann", permet d'intégrer bien peu de fonction comparée à la théorie de l'intégration de Lebesgue. Dans cette théorie,  pour peu qu'on puisse munir un ensemble E d'une structure "d'espace mesuré", on peut intégrer (presque) toutes les fonctions E : \rightarrow \mathbb{C} dites "mesurables".

Or on peut munir \mathbb{R} (et même \mathbb{R}^n) d'une telle structure de manière à ce que l'intégrale de Riemann coïncide avec celle de Lebesgue sur les fonctions continus par morceau, sauf qu'on peut quasiment tout intégrer avec cette dernière et sur quasiment n'importe quoi. J'entends par "quasiment" le fait que trouver un contre-exemple demande des efforts de créativité. Alors oui, on peut intégrer une fonction sur l'ensemble des irrationnels, sur un \mathbb{R}-ev ou sur la boule de dimension n ou sur un tore, on peut intégrer l'indicatrice des rationnels sur \mathbb{R} ...
Si tu es vraiment curieux je t'invite à parcourir la première partie du cours "Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires" (en PDF) de Jean-François Le Gall.

Quant à la dérivation, on peut tout à fait définir la dérivée d'une fonction entre deux \mathbb{R}-evn (de dimensions quelconques) pour peu qu'elle existe. En bref, une fonction f : E \rightarrow F est différentiable (ou dérivable) en a\in E s'il existe une application linéaire continue L_a :E \rightarrow F vérifiant :
f(a+h) = f(a) + L_a(h) + o(|| h ||) pour h\rightarrow 0. L_a est unique si elle existe et on l'appelle la différentielle (ou la dérivée) de f en a.
Il me semble que c'est au programme de MP.

Bien que ce ne soit pas exactement l'objet de tes interrogations, je me permet d'en profiter pour souligner le fait que l'intégrale et la dérivée sont deux outils bien distincts, le premier étant considérablement plus général que le second. En réalité, le seul lien entre intégration et dérivation est le théorème de Stokes qui est une généralisation du théorème fondamental de l'analyse.

Cordialement.
Bonne journée.



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