Bonjour! Déjà il faut préciser dans l'énoncé que les compacts sont emboîtés sinon l'énoncé est faux !

En fait la phrase " donc la suite (x(n+p))p admet une sous-suite convergente dans Kn mais c'est une sous-suite d'une suite convergente ( car (x(n+p))p converge de limite x) par unicité de la limite xKn " est je pense juste mais assez lourde :

J'aurais plutôt écrit un truc du style :
Tu as bien que et quand . Or est un fermé donc  

Oui je m'excuse j'ai oublié l'hypothèse que la suite des compacts est décroissante.
Vous avez raison, j'opterai pour votre rédaction. Merci pour votre réponse.

Ton argument ne fonctionne pas pour un espace topologique quelconque.

C'est parce qu'on ne dispose pas de la caractérisation séquentielle et qu'il faut passer par la propriété de Borel-Lebesgue n'est ce pas ?

En effet pour un espace topologique quelconque etre sequenciellement compact n'implique pas d'etre compact.
Il faut revenir a la définition de la compacité.

Merci pour votre réponse. Je réfléchirai à une démonstration générale.

Il te suffit d'appliquer la définition. C'est assez direct. Ne va pas chercher midi a 14h.

On prend une famille d'ouverts (O_i)_iI qui recouvre l'intersection des Kn. Si on arrive à recouvrir K₀ on aura un recouvrement de tous les Kn par décroissance de cette suite. On peut écrire K₀=(K₀ Kn ) U ( K₀ \ Kn ) donc K₀ inclus dans UO_i U ( E\ Kn) ( ce dernier est un ouvert ) donc il existe J partie finie de I telle que K_{0 jJ}O_j U (E\ Kn ) or pour tout entier p on a KpK₀ donc l'intersection de tous les Kp est incluse dans _jJO_j U (E\ Kn )  et donc dans _jJO_j
Vous en pensez quoi ? Sinon pour le caractère non vide je ne vois pas quoi faire.

Merci d'avance

Avec les fermés ça va plus vite :

Pour le caractère non vide, on peut supposer E=K_0 et donc que E est séparé.
Les K_i sont fermés et donc si l'intersection des K_i était vide, alors il y aurait une famille finie des K_i dont l'intersection se serait vide...

Bonsoir,

Donc cela veut dire que ce que j'ai présente était  correct. J'en doutais parce que je manipule rarement la propriete de Borel Lebesgue.
Vous avez utilisé une propriété qui est équivalente à la définition avec les ouverts n'est-ce pas ?

Merci d'avance

Comment ca? Ta premiere preuve ne fonctionnait pas non.
J'utilise ici simplement la définition d'etre compact exprimé avec les fermés en effet, si une intersection d'une famille de fermés est vide alors une sous famille finie des fermées en question est deja d'intersection vide.

J'ajoute que la séparation est fondamentale pour le résultat, sinon il faut rajouter une hypothese sur les compacts K_i, qu'ils soient fermés par exemple.

(Je precise ca au cas ou tu n'aurais pas la définition de séparé inclue dans compact, ce qui arrive parfois).

Bonjour,

Je parlais en fait de la deuxième preuve.
Vous avez raison, j'ai oublié de montrer que cette intersection est séparée. Je ne comprends pas

Ca depend un peu de la définition que tu as prise.
Disons que y a deux ecoles.
On va dire qu'un espace X est quasi compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous recouvrement fini.

La premiere ecole considère que compact=quasi-compact. Pour eux un compact n'est pas nécéssairement fermé, par exemple R muni de la topologie grossière est quasi compact et n'importe laquelle de ses parties est aussi quasi compacte alors que tres peu seront fermés. Pour la premiere école ces parties seront compactes et non fermées.

La second ecole appelle compact, le fait d'etre quasi compact et séparé. Mais meme dans ce contexte là tu peux etre compact sans être fermé. Mais c'est assez artificiel. Par exemple si tu reprend R avec la topologie grossière alors la partie {1} est compacte (elle est bien séparée et quasi compacte pour la topologie induite) mais elle est pas fermée dans R.

Bref ici si tu as séparé dans la définition alors les K_0 est compact donc séparé et les K_i sont fermés dans K_0 (mais pas necessairement dans E mais on s'en fout en fait).

Ce sont des chinoiseries en réalité. Dans la pratique quand tu travailles avec des espaces non séparés (ce qui arrive fréquement en fait, dans certaines branches de maths, la quasi totalité des espaces ne sont pas séparés), tu fais bien la séparation entre quasi compact et compact, c'est tout.

Remarque tout de meme que toujours dans R muni de la topologie grossière les parties K_n=]0,1/n[ sont quasi compactes, emboitées, non vide et leur intersection est vide.
Y a bien à un moment un hypothèse de séparation à ajouter ou alors ajouter que les K_i sont fermés.
Ici ton espace E est sans doute séparé, ce qui règle la chose.

Bref, je veux pas t'embrouiller avec du coupage de cheveux en 4.

Si tu veux un exemple un peu moins articifiel (encore que), et qui sert pas mal, prend le segment avec un point doublé.
Prend I et J deux copies du segment [0,2] que tu recolles le long du complémentaire de 1.
Tu obtiens [0,2]\{1} (je vais appeler A cette partie) avec deux copies de 1, que je vais appeler a et b cet espace est visiblement non séparé (deux voisinage de a et b s'intersectent toujours) tu as que A union {a} est compact (quasi compact et séparé) mais A union {a} n'est pas fermé dans ton espace, il est meme dense.

Bonjour,

Je vous remercie pour votre explication et les exemples fournis. Je comprends maintenant. Je prends pour résoudre l'exercice que tous les compacts sont séparés ( c'est la définition du cours c'est pour cela que je m'y attache . Donc selon la deuxième école, ce qu'on a démontré c'est qu'une intersection dénombrable de quasi-compacts non vides est un quasi-compact non vide. Après si l'espace tout entier est séparé, alors cette intersection est aussi séparée. Et si on prend K₀ séparé alors tous les K_i sont séparés et l'intersection étant incluse dans K₀, elle est séparée. Mais si on prend comme hypothèse que tous les K_i sont fermés, alors leur intersection est fermée, mais on ne peut pas avancer qu'elle est séparée non ?

Merci d'avance.

Coquille dans ma derniere phrase, à remplacer par
Ou une intersection emboités de compacts (quasi compact et séparés) non vides ne peut etre vide.

Bonsoir,

Je m'excuse je voulais dire qu'une intersection dénombrable de quasi-compacts reste quasi-compacte.
Pour votre dernière phrase, ( une intersection emboités de compacts ( quasi-compacts et séparés ) non vides ne peut être vide ) est-ce que parce qu'ils seront fermés s'ils sont séparés ?
Merci d'avance