Bonjour à tous,

j'ai une petite question concernant le lemme (ou le Théorème comme c'est marqué dans mon livre) d'Urysohn.

(*) "Si X est un espace normal alors, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue de X dans l'intervalle [0, 1], qui vaut 0 sur F et 1 sur G."

Peut-on étendre ce théorème à une fonction continue de X dans [-1,1] qui vaut -1 sur F et 1 sur G ? Et en allant plus loin par multiplication par un scalaire, une fonction à valeur dans un segment [-M, M] ? J'ai bien l'impression d'après la preuve de mon livre qui utilise ce lemme pour démontrer (*) :

"Soit D une partie dense de [0,1] et (U(s))_{s D} une famille d'ouverts de X indexée par D telle que



Soit définie par



alors f est une fonction continue."

On  prouve que pour t dans [0,1]



donc l'image réciproque d'ouvert par f est un ouvert, f est continue OK.

Ensuite pour revenir à la preuve du théorème initiale, on pose



(Ramanujan pourra peut-être nous dire pourquoi D est dense dans [0,1]... )
et on construit par récurrence sur m la suite d'ouverts U(s).

On pourrait bien prendre aussi les entiers k opposés pour construire une partie dense de [-1,1] non ? Je tiens à garder [-1,1] pour que la récurrence ne soit pas trop modifiée, il existe sûrement des parties denses de la même forme que D_m dans un segment [-M,M] (M > 0 de préférence...), je ne me suis pas posé la question (et j'en ai pas très envie...).

Je demande surtout ça dans le cadre de la démonstration du théorème de prolongement de Tietze où l'on semble utiliser le lemme d'Urysohn de manière un peu modifié faisant apparaître des fonctions continues à valeurs dans des segments  (et je vois comment modifier pour obtenir ce que je veux.)

Merci d'avance !