Bonjour les matheux je veux de l'aide pour répondre à cet exercice merci d'avance :
Soit l'ensemble des applications linéaires de
dans
. Pour toute application
:
, il existe des réels
tels que pour tout
nous avons :
Toute application linéaire
de
est définie par :
où
sont entiers relatifs, associés à la matrice
de
définie par :
L'objectif de cet exercice est de prouver que l'application
vérifie
si et seulement si
, sont des entiers relatifs et que
. Je veux montrer ça par double implication
et pour la deuxième question :
Soit le groupe des applications linéaires
de
qui vérifie
et
l'ensemble des applications linéaires
de
qui vérifie
. montrer que
est un groupe et que
est un sous-groupe de
Bonjour,
Juste en passant car je ne vais pas être disponible longtemps :
Quelles sont tes pistes de recherche ? Qu'as-tu tenté ?
Tu as recopié l'énoncé de l'exercice ; tu peux en poster un scan.
Ce que tu as recopié n'est pas clair.
Bonjour,
pour la deuxième question, il suffit juste de vérifier point par point ce qui définit un groupe et un sous-groupe, tu pourras t'en sortir seul. Pour la première question, c'est bien de vouloir démontrer par double implication. Comme Sylvieg demande : qu'as-tu tenté ?
Pour le sens direct, une petite indication : prends une base de deux vecteurs à coefficients entiers. Peux-tu trouver deux antécédents ? Comment sont les coefficients de ces antécédents ? Qu'en déduis-tu sur l'application f ?
Sens direct : D'abord, pour tout élément
On a :
Donc
Soit
Tel que
Alors et
pour certains entiers
Donc et
Donc est inclus dans
Ainsi,
Sens inverse : Si
Alors, pour tout
et
Donc, pour on a :
et
Et pour on a :
et
D'où
Et
On peut généraliser ce résultat à toute application entre deux
libres d'un certain anneau
Je voudrais que quelqu'un me donne une réponse complète à la deuxième question, s'il vous plaît, car j'ai des difficultés avec la rédaction mathématique.
En ce qui concerne la source de cet exercice, elle n'est pas écrite en français ou en anglais, c'est pourquoi je l'ai traduite ici. Je m'excuse s'il y a des erreurs dans l'écriture.
salut
en attendant le retour de Rintaro ...
honnêtement je ne comprends pas ce que tu fais :
f est une fonction fixée : f(x, y) = (ax + by, cx + dz) avec a, b, c et d des réels
et tu dois montrer que :
1/ si alors a, b, c et d sont des entiers relatifs et
2/ si a, b, c et d sont des entiers relatifs et alors
Oui, j'ai déjà présenté ma tentative de résoudre cette question. Je voudrais maintenant avoir la réponse à la deuxième question concernant le groupe.
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