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Les applications linéaires

Posté par
Ayoubgg 23-08-24 à 02:42

Bonjour les matheux je veux de l'aide pour répondre à cet exercice merci d'avance :
Soit $\( \mathcal{L}(\mathbb{R}^2) \)$ l'ensemble des applications linéaires de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$. Pour toute application $f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, il existe des réels $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, et $\delta$ tels que pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, nous avons : f(x, y) = (\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y)Toute application linéaire $f$ de $L(\mathbb{R}^2)$ est définie par :
f(x, y) = (\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y), \quad (x, y) \in \mathbb{R}^2où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\delta$ sont entiers relatifs, associés à la matrice M(f) de $M_2(\mathbb{R})$ définie par :

M(f) = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix} L'objectif de cet exercice est de prouver que l'application $f$ vérifie $f(Z^2)$ = Z^2 si et seulement si  \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \), \( \delta \) , sont des entiers relatifs et que $detM(f)$ = \pm 1. Je veux montrer ça par double implication
et pour la deuxième question :

Soit \mathcal{L}(\mathbb{Z}^2) le groupe des applications linéaires  $f de \mathcal{L}(\mathbb{R}^2) qui vérifie $f(Z^2)$ = Z^2 et \mathcal{L^+}(\mathbb{Z}^2) l'ensemble des applications linéaires $f de  \mathcal{L}(\mathbb{Z}^2) qui vérifie $detM(f)$ = 1.  montrer que (\mathcal{L}(\mathbb{Z}^2), \circ) est un groupe et que  (\mathcal{L^+}(\mathbb{Z}^2), \circ) est un sous-groupe  de (\mathcal{L}(\mathbb{Z}^2), \circ)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les applications linéaires 23-08-24 à 08:22

Bonjour,
Juste en passant car je ne vais pas être disponible longtemps :
Quelles sont tes pistes de recherche ? Qu'as-tu tenté ?
Tu as recopié l'énoncé de l'exercice ; tu peux en poster un scan.
Ce que tu as recopié n'est pas clair.

Posté par
Rintarore : Les applications linéaires 23-08-24 à 11:02

Bonjour,

pour la deuxième question, il suffit juste de vérifier point par point ce qui définit un groupe et un sous-groupe, tu pourras t'en sortir seul. Pour la première question, c'est bien de vouloir démontrer par double implication. Comme Sylvieg demande : qu'as-tu tenté ?

Pour le sens direct, une petite indication : prends une base de deux vecteurs à coefficients entiers. Peux-tu trouver deux antécédents ? Comment sont les coefficients de ces antécédents ? Qu'en déduis-tu sur l'application f ?

Posté par
Ayoubggre : Les applications linéaires 25-08-24 à 17:20

Sens direct : D'abord, pour tout élément \((u,v) \in \mathbb{Z}^2\),

On a : \((u,v) = (1u + 0v, 0u + 1v) \in f(\mathbb{Z}^2)\),

Donc \(\mathbb{Z}^2\) est inclus dans \(f(\mathbb{Z}^2)\).

Soit \((m,n) \in \mathbb{Z}^2\),

Tel que \(f(x,y) = (m,n)\),

Alors \(\alpha x + \beta y = m\) et \(\gamma x + \delta y = n\) pour certains entiers \(\alpha, \beta, \gamma\) et \(\delta\).

Donc \(x = \pm(m\delta - n\beta) \in \mathbb{Z}\) et \(y = \pm(m\gamma - n\alpha) \in \mathbb{Z}\).

Donc \(f(\mathbb{Z}^2)\) est inclus dans \(\mathbb{Z}^2\),

Ainsi, \(f(\mathbb{Z}^2) = \mathbb{Z}^2\).

Sens inverse : Si \(f(\mathbb{Z}^2) = \mathbb{Z}^2\),

Alors, pour tout \((x,y) \in \mathbb{Z}^2\),

\(\alpha x + \beta y \in \mathbb{Z}\) et \(\gamma x + \delta y \in \mathbb{Z}\).

Donc, pour \(x=1\) et \(y=0\), on a : \(\alpha \in \mathbb{Z}\) et \(\gamma \in \mathbb{Z}\),

Et pour \(x=0\) et \(y=1\), on a : \(\beta \in \mathbb{Z}\) et \(\delta \in \mathbb{Z}\).

D'où \((\alpha, \beta, \gamma, \delta) \in \mathbb{Z}^2\),

Et \(\det(f) = \alpha\delta - \beta\gamma \in \mathbb{Z}\).

On peut généraliser ce résultat à toute application \(A\)-linéaire entre deux \(A\)-modules libres d'un certain anneau \(A\)

Posté par
Ayoubggre : Les applications linéaires 25-08-24 à 17:22

Je voudrais que quelqu'un me donne une réponse complète à la deuxième question, s'il vous plaît, car j'ai des difficultés avec la rédaction mathématique.

Posté par
Ayoubggre : Les applications linéaires 25-08-24 à 17:26

En ce qui concerne la source de cet exercice, elle n'est pas écrite en français ou en anglais, c'est pourquoi je l'ai traduite ici. Je m'excuse s'il y a des erreurs dans l'écriture.

Posté par
Ayoubggre : Les applications linéaires 25-08-24 à 22:49

J'espère que quelqu'un pourra me répondre.

Posté par
carpediemre : Les applications linéaires 26-08-24 à 09:14

salut

en attendant le retour de Rintaro ...

honnêtement je ne comprends pas ce que tu fais :

f est une fonction fixée : f(x, y) = (ax + by, cx + dz) avec a, b, c et d des  réels

et tu dois montrer que :

1/ si f(\Z^2) = \Z^2 alors a, b, c et d sont des entiers relatifs et ad - bc = \pm 1

2/ si a, b, c et d sont des entiers relatifs et ad - bc = \pm 1 alors f(\Z^2) = \Z^2

Posté par
Ayoubggre : Les applications linéaires 27-08-24 à 07:39

Oui, j'ai déjà présenté ma tentative de résoudre cette question. Je voudrais maintenant avoir la réponse à la deuxième question concernant le groupe. (\mathcal{L}(\mathbb{Z}^2), \circ)

Posté par
Ulmierere : Les applications linéaires 27-08-24 à 11:07

Il n'y a rien de spécial, tu prends ton cours et tu regardes la définition d'un groupe et tu vérifies que L(Z^2) vérifie chacun des points qui la composent


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