Maintenant que j'y pense, je doute sur ma définition de U, est-ce un ouvert de ou de ?

Bonjour

U est un ouvert de Rⁿ.
Pour le sens direct, tu fais rematquer que f_j=p_jof, où p_j est la j-ème projection et elle est différentiable.

Pour la réciproque; je suis sûre qu'elle est vraie.

En effet, on a f_j(a+h)=f_j(a)+d(f_j)(a)(h)+_j(h)||h||.

Si tu poses =(₁,...,_n) tu démontes facilement que la différentielle de f au point a est df(a)(h)=(df₁(a),...,df_n(a))

Bonjour Camélia,

donc ici on a bien et U un ouvert de .
si oui, je ne comprend pas la notation .
est-ce ? J'en doute car cela signifie alors que non ?

(je reviens!)

Oui, je pense que l'on va de Rⁿ dans Rⁿ.

Ceci étant dit, ton énoncé est bizarre. ce que l'on fait en général: on prend f: U avec U ouvert dans ⁿ. On choisit un point a=(a₁,...,a_n) de U. On définit sur un voisinage de a_j la fonction partielle f_j par



et là c'est vrai que f différentiable en a entraine que chaque f_j est différentiable en a_j et que la réciproque est fausse...

Re,
je suis presque sur d'avoir noté , je vais voir pour confirmation et je te tiens au courant.

(j'ai la emme chose)

arf, bon nous revoila au point de départ!
J'avais noté puis je me suis dit que c'est peut-être .
Et dans ce cas, f est l'application de U dans V avec U ouvert de et V ouvert de , non ?

(moi je comprend cette notation par f1=f o p1...
enfin les fj sont les composantes de f...
c'est quoi le soucis?)

non c'est fp...j'ai retrouvé mon brouillon!
Bonne soirée!

Ok!
Donc f est bien une application de U dans V, avec U ouvert de et V ouvert de .

Donc si on prend t dans U, , on associe

Je ne vois pas pourquoi les sont des application de dans , à moins que je me soit ici aussi trompé ??

Si, cette fois ce sont bien des applications de U dans R. Ce sont tout simplement les fonctions coordonnées...

Bonsoir Camélia,
dans ce cas, avec et définit comme dans mon dernier post, a-t-on bien les propriétés de mon post initiale ?

Oui et non.

f différentiabletoutes les f_jdifférentiables