Voici les hypothèses

On note
d la distance euclidienne sur R^(n+1)
Sn={x appartient à R^(n+1) / d(0,x)=1} est la sphère de dimension n
Pn est l'ensemble des droites vectorielles de R^(n+1)
Soit f : E -> Pn l'application qui a x associe la droite vectorielle passant par x.
Soit D1 et D2 appartiennent à Pn et x1 appartient à D1 inter Sn et x2 appartient à D2 inter Sn. On note d1 la distance telle que
d1(D1,D2)=inf(d(x1,x2),d(x1,-x2))

La question sur laquel je doute est la suivante:
Si x, y appartiennent à Sn et d(x,y)<=sqrt(2) alors d1(f(x),fy))=d(x,y)

J'ai l'idée de minorer d(x,-y) par sqrt(2)
Car d(x,y)<= d(x,-y)+d(-y,y)
Mais après j'ai un doute car si on met
d(x,y)-d(-y,y)<=d(x,-y), ca voudrai dire que
d(x,-y)=>sqrt(2)-2<0
Le résultat est que l'on majore d(x,-y) par un nombre négatif, ce qui nous sert à rien puisque on le sait par def que d est une distance.

Donc si quelqu'un pouvait m'aider à sortir de cette impasse qui me torture?
Merci d'avance