Niveau Maths sup

les équivalents pour les nuls

Posté par
robby3 23-10-23 à 12:23

Bonjour à tous,

Je voudrai avoir les idées claires sur la notion d'équivalence entre les suites (et donc entre les séries), c'est pourquoi je souhaiterai pouvoir répondre sans difficultés à un certain nombre de questions ci-dessous.
Pourriez-vous m'aider à voir si mes réponses sont correctes et me donner des pistes pour répondre aux questions dont j'ignore encore les réponses ?

1) Deux suites qui ont la même limite sont-elles équivalentes ?
>>NON, par exemple, $u_n=\frac{1}{n^2} \;et\; v_n=\frac{1}{n}$ tendent vers 0 lorsque n tend vers $+\infty$ mais $u_n$ n'est pas équivalente à $v_n$ .

2) Quel est l'équivalent le plus simple d'une suite de limite finie a ?

>>Je dirai a (mais peut être à condition que cette limite soit non nulle) car on aurait bien $u_n=(1+\epsilon_n)a$ avec $\epsilon_n$ qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

3) Deux suites $(u_n) \; et\; (v_n)$ telles que $u_n- v_n\rightarrow 0$ sont-elles équivalentes ?

>>NON car si on prend $u_n=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n} \;et\;v_n=\frac{1}{n^2}$ alors la différence tend vers 0 mais les deux suites ne sont pas équivalentes.

4) Si deux suites $(u_n) \;et\.(v_n)$ sont équivalentes alors a-t-on $u_n-v_n\rightarrow 0$ ?

>>NON car $u_n=n+1\;et\;v_n=n$ on bien l'équivalence mais la différence tend vers 1.

5) Les équivalentes suivants sont-ils vrais, et y en a-t-il un qui soit plus précis que les autres ?

$ln(1+\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n}\;\;\;\;ln(1+\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}\;\;\;\;\;ln(1+\frac{1}{n})\sim\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}$

>>Je dirai le 3è est plus précis.

6) On trouve comme résultat du développement limité d'une suite $(u_n)$ dépendant d'un paramètre $a$ la chose suivante: $u_n=\frac{a-2}{n}+\frac{a^2-1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})$ . quel est l'équivalent de $u_n$ ?

>>Je dirai que $u_n\sim\frac{a-2}{n}$

7) Si $u_n o(v_n)$ alors $u_n\sim u_n+v_n$

>>Si $v_n o(u_n)$ alors par définition, cela veut dire qu'il existe une suite $\epsilon_n$ qui tend vers 0 en l'infini tel que $v_n=\epsilon_n u_n$ .
Or $u_n+v_n=u_n+\epsilon_n u_n=(1+\epsilon_n)u_n$ donc $u_n+v_n\sim u_n$

8) Réciproquement, si $u_n \sim u'_n$ alors il existe $v_n$ tel que $u'_n=u_n+v_n$ avec $v_n=o(u_n)$

>>si $u_n \sim u'_n$ alors il existe $\epsilon_n$ qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini tel que $u'_n=(1+\epsilon_n)u_n=u_n+\epsilon_n u_n$ on peut alors poser $v_n=\epsilon_n u_n=o(u_n)$ et le tour est joué ?

9) Si $u_n\sim v_n$ alors $f(u_n)\sim f(v_n)$ ?

>>Je prends $u_n=1\;\;v_n=1+\frac{1}{n}$ on a bien l'équivalence $u_n\sim v_n$ mais $ln(1)=0$ alors que $ln(1+\frac{1}{n})$ n'est pas équivalent à 0.

10) Si $u_n\sim v_n$ alors $u_n+w_n\sim v_n+w_n$ ?
>>Je dirai non avec $u_n=n^2+n$ ; $v_n=n^2 +1$ et $w_n=-n^2$

11) Si $u_n\sim v_n$ alors $\left|u_n \right|\sim\left|v_n \right|$ ?

>> J'ai tenté avec la définition car je ne trouve pas de contre exemple.
En fait en parant de il existe $\epsilon_n$ qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini tel que $u_n=(1+\epsilon_n)v_n$ et en prenant la valeur absolue, j'ai bien $\left|u_n\right|=\left|(1+\epsilon_n)\right|\left|v_n \right|$ donc le résultat attendu non ?

12) Si $u_n\sim v_n$ alors $u_n^{\alpha}\sim v_n^{\alpha}$ ?

>>Je dirai non, ça dépend de ce que fait le $\alpha$ car $(1+\epsilon_n)^{\alpha}$ n'a aucune raison de tendre vers 1 si $\alpha <0$ par exemple.
Si $\alpha$ est un entier positif alors ça marche.
Par contre, si $\alpha=\frac{1}{n}$ je doute...

13) Si $u_n\sim v_n$ sont deux suites de réels strictement positifs alors a-t-on $ln(u_n)\sim ln(v_n)$ ...

i) si les deux suites ont une limite finie autre que 0 et que 1 ?
ii) si les deux suites tendent vers 0
iii) si les deux suites tendent vers 1
iv) si les deux suites tendent vers $+\infty$

>>pour iii) j'ai déjà répondu avec $1$ et $1+\frac{1}{n}$
Auriez-vous des idées pour les autres ?

Merci d'avance de vos commentaires et remarques !

Posté par re : les équivalents pour les nuls 23-10-23 à 14:16

4) correct. Bonus: Est-ce que $e^{u_n} \sim e^{v_n}$ est vrai ?

5) les trois équivalents sont corrects et disent exactement la même chose. Aucun d'entre eux n'est plus précis que les autres.

10) ce que tu as fait est correct. Quid si on parle de suites à valeurs positives ? Et si $w_n = o(u_n)$ ?

12) oui. Mais est-il vrai que si $x_n$ et $y_n$ sont équivalentes et strictement positives à partr d'un certain rang alors $x_n^z \sim y_n^z$ pour n'importe quel z complexe ?

11) Appliquer la question bonus du 12) à $x_n = u_n^2$ et $y_n = v_n^2$ avec $z = \frac12$

13) (iii) déjà traité
(i) ça s'appelle la continuité du log
(ii) consiste à revenir au (iv) en considérant $1/u_n$ et $1/v_n$ à la place de $u_n$ et $v_n$
(iv) si $u_n = v_n + o(v_n)$ alors $\ln(u_n) = \ln(v_n(1 + o(1))) = \ln(v_n) + \ln(1+o(1)) = \ln(v_n) + o(1)$ . $\ln(v_n)$ tend vers l'infini donc un o(1) est aussi un $o(\ln(v_n))$

Posté par re : les équivalents pour les nuls 23-10-23 à 14:45

4) $e^{u_n}\sim e^{v_n}$ est faux car le quotient tend vers e et pas vers 1 si je prends les mêmes $u_n$ et $v_n$

5) ok.

10) Si $w_n=o(u_n)$ alors $w_n=\epsilon_n u_n$
donc $u_n+w_n=u_n+\epsilon_n u_n=(1+\epsilon_n)u_n$ donc $u_n + w_n \sim u_n$ et $v_n+w_n=\epsilon_n u_n+(1+\epsilon'_n)u_n=u_n(\epsilon_n+\epsilon'_n+1)$ donc $w_n + v_n \sim u_n \;et\; u_n+w_n \sim u_n$ d'où $u_n + w_n \sim v_n + w_n$ (la relation "est équivalent à" est une relation d'ordre sur l'espace des suites réelles donc elle est transitive non ?)
J'imagine que si les suites sont à valeurs positives, ça marche, mais je n'arrive pas à le démontrer clairement.

Je pars des hypothèses: $u_n\sim v_n \Leftrightarrow \exists \epsilon_n\rightarrow 0\;tq \;u_n=\epsilon_n v_n$ et $(w_n)_n\in \mathbb{N_+}$
Je regarde $u_n+w_n=(1+\epsilon_n)v_n+w_n=v_n+w_n+\epsilon_n v_n$ mais je ne vois pas comment poursuivre...

12) le cas complexe m'échappe effectivement...
Je réfléchis pour la suite.

Posté par re : les équivalents pour les nuls 23-10-23 à 14:45

Bonjour,
Tu n'es pas si nul que ça !
Question 6) : et si $a=2$ ?
Dans la formulation de l'énoncé de cette question, il y a une erreur assez fréquente : parler de "L'équivalent" comme s'il n'y en avait qu'un seul ! Il n'y en a qu'un seul si on précise qu'on le veut sous la forme $\dfrac{\text{cte}}{n^k}$ .

Posté par re : les équivalents pour les nuls 23-10-23 à 21:53

Je reviens.
Je bloque vraiment sur la question 10) lorsque les suites sont à valeurs positives, auriez une idée pour poursuivre mon raisonnement ?

Pour la 12) dans le cas où $\alpha$ est un complexe, je ne sais même pas comment commencer...

Pour 11), j'ai saisi en supposant 12 démontré correctement, ce que je ne parviens pas encore à faire.

Pour 13) i), oui mais comment justement le montrer proprement ?
Si je pars des hypothèses :
$u_n\rightarrow l_1\neq\{0,1\}$ et $v_n\rightarrow l_2\neq \{0,1\}$
On sait aussi que $u_n\sim v_n$ donc il existe $\epsilon_n \rightarrow 0$ tq $u_n=(1+\epsilon_n)v_n$ alors j'obtiens $ln(u_n)=ln(1+\epsilon_n)+ln(v_n)$ et si je pose $\epsilon'_n=ln(1+\epsilon_n)$ qui tend vers 0 quand n tend l'infini, je suis coincé car j'aurai voulu que ça tende vers 1...comment m'en sortir ?

Pour 13) iV) je comprends jusqu'à

Citation :
$ln(v_n)$ tend vers l'infini donc $o(1)$ est un $o(ln(v_n))$

.

Si je reviens à la définition, une suite $u_n$ est un $o(1)$ signifie qu'il existe une suite $\epsilon_n$ qui tend vers 0 en plus l'infini tel que $u_n =\epsilon_n \times 1 = \epsilon_n.$
Et si une suite $u_n$ diverge vers $+\infty$ , cela veut dire que pour tout $A\in \mathbb{R}$ à partir d'un certain rang $n_0$ , pour tout $n$ supérieur ou égal à ce $n_0$ , la suite $u_n >A$
Du coup, partant de là, je ne vois pas pourquoi être un $o(1)$ c'est être un $o(ln(v_n)$ ...
En fait, je comprends en passant en "français", en me disant, si je suis négligeable devant 1, je suis forcément négligeable devant un truc qui tend vers + l'infini puisqu'à un moment donné, à partir d'un certain rang, je vais pouvoir dépasser ce 1.

GBZM >

si quand même...

6) si $a=2$ , je dirai que $u_n\sim\frac{a^2-1}{n}$
Merci pour la précision et la remarque.

Posté par re : les équivalents pour les nuls 24-10-23 à 11:56

10) Quand deux suites sont équivalentes, on a $o(u_n) = o(v_n)$ . De plus, si $w_n = o(u_n)$ alors $u_n \sim u_n + w_n$ .
preuve: $u_n + {\red w_n} = u_n + {\red o(u_n)}$ , ce qui est exactement la définition de $u_n + w_n \sim u_n$ .
Lien avec le 10) : transitivité de la relation ~. $u_n + w_n \sim u_n \sim v_n \sim v_n+w_n$

Dans le cas où w n'est pas forcément négligeable mais positive $u_n + w_n = w_n + v_n + o(v_n)$ . Or, $o(v_n) = o(v_n + w_n)$ . L'explication est la même que pour 13)(iv).

Si $0 < x_n \leqslant y_n$ et $u_n = o(x_n)$ alors $u_n = o(y_n)$ .
preuve: tout est strictement positif, donc $\dfrac{u_n}{y_n} \leqslant \dfrac{u_n}{x_n} \underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0$ , ce qui veut bien dire que $u_n$ est négligeable devant $y_n$ .

Pour 13)(i), c'est littéralement la continuité du log. Être équivalent à une constante non nulle (et différente de 1, ici) c'est exactement la même chose que de tendre vers cette constante.

Enfin, pour le 12), si u et v sont à valeurs strictement positives, $u_n^z = \exp(z\ln(u_n))$ .
Or, $u_n/v_n$ tend vers 1. Par continuité du log en 1, $z\ln(u_n) - z\ln(v_n)$ tend vers 0.
Par continuité de l'exponentielle en 0, $u_n^z/v_n^z$ tend vers 1, ce qui veut bien dire que $u_n^z\sim v_n^z$

Posté par re : les équivalents pour les nuls 27-10-23 à 10:44

Merci Ulmière pour ces précisions et ces explications.

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