Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Les fonctions

Posté par
ludelu1981 13-01-10 à 01:25

Bonsoir, voici un exercice où j'ai vraiment du mal surtout que j'étudie par correspondance et ce n'est pas toujurs facile.

On considère une famille de fonctions définies sur R par :
fa(x) = \frac{x^2 - ax + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}earctan(x)
1°) Donner le développement limité à l'ordre 3 de la fonction fa en 0.

Ma réponse :
D'après le cours on a :
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + x3(x)
et d'autre part : arctan(x) = x - \frac{x^3}{3}+ x3(x)
Ainsi j'ai : erctan(x) =1 + x + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3+ x3(x)
Ensuite au niveau du numérateur j'obtiens :
(x2 - ax + 1)earctan(x) = 1 + x(3/2 - a) + x2(1 - a) + x3(1 - 1/2) + x3(x)

Ensuite je m'occupe du dénominateur et notant :
\sqrt{1 + x^2} = 1 + \frac{1}{2} x^2+ x3(x)

Et pour finir je fait la division et j'obtiens au final :
fa(x) = 1 + (3/2 - a)x + (1/2 - a) x2 + 1/4x3 + x3(x).

Je ne suis pas sur de ma réponse.

Question 2 :
Donner le développement limité à l'ordre 3 en + de x(1/x)fa(x). On pourra poser u = 1/x et chercher le développement à l'ordre 3 en 0+ en u, en remarquant que arctan(u) + arctan(x) = (/2)(u/|u|)
Pour cette question je ne sais pas comment faire.

Merci pour votre aide. Ludovic

Posté par
kybjmre : Les fonctions 13-01-10 à 01:58

1.Pour ne pas avoir à diviser , ecris 1/(1 + x2)1/2 = (1 + x2)-1/2 et utilise le DL en 0 de (1 + t)
Tu n'auras que des multiplications à faire.

2.Pour cette question vérifie que pour x > o tu as : Arctan(1/x) + Arctan(x)  = /2 ( l'application f : x Arctan(1/x) + Arctan(x) de +* vers est dérivable et f ' = 0 donc est constante et comme f(x) /2 qd x +...)
Pose alors g(t) = f(1/t) pour t > 0 et trouve un DL en 0 à l'ordre qu'il faut pour obtenir non pas un DL mais ce qu'on appelle un DA (développement asymptotique) de f(x)au voisinage de + dans l'échelle des h : x x ( )
Ce "jargon" étant jugé trop pompeux on utilise le mot Dl si on a par exemple :h(x) = x + 14/x + 2/x3 + o(1/x3) qd x +

Posté par
JJare : Les fonctions 13-01-10 à 10:16

Bonjour ludelu1981,

Pour exp(arctg(x)), c'est bon.
Mais je pense qu'il y a des erreurs dans ton DL. de (x²-ax+1)exp(arctg(x)). Je trouve :
1+(1-a)x+((3/2)-a)x²+((5/6)-(a/2))(x^3)+...

Posté par
ludelu1981re : Les fonctions 14-01-10 à 00:46

Tout d'abord merci à kybjm et JJa pour m'avoir répondu.
J'ai repris mes calculs et j'ai réussi à retrouver le même calcul que JJa concernant le DL de (x2 - ax + 1)earctan(x)
Ensuite en suivant le conseil de Kybjm j'ai calculé le DL de (1 + x2)-1/2. Voici comment j'ai procédé :
Tout d'abord je calcule le DL de :
(1 + x)-1/2 = 1 - 1/2 x + 3/8 x2 - 15/48 x3 + x3(x)
ensuite je calcule le DL de (1 + x2)-1/2 et je trouve :
(1 + x2)-1/2 = 1 - 1/2 x2 + x3(x).

Pour finir ce calcule je trouve donc par produit :
fa(x) = 1 + (1 - a)x + (1 - a)x2 + 4/3 x3 + x3(x).

Voilà donc pour la première question, est ce que j'ai bon. Merci d'avance. Ludovic

Posté par
ludelu1981re : Les fonctions 15-01-10 à 13:16

Bonjour, est ce que quelqu'un peut me dire si ma réponse concernant la première question est correcte. Merci d'avance. Ludovic

Posté par
ludelu1981re : Les fonctions 17-01-10 à 00:02

Bonsoir j'aurai besoin d'aide pour la question 2 car je ne vois pas comment faire pour trouver un DL de f(1/t) à l'ordre 3 en 0. Merci d'avance. Ludovic

Posté par
JJare : Les fonctions 17-01-10 à 07:25

Bonjour,

concernant ton message du 14-01-10 à 00:46
Je ne vois pas à quoi sert le DL de (1+x)^(-1/2)
D'accord pour le DL de (1+x²)^(-1/2)
Pour celui de fa(x), je ne trouve par tout à fait comme toi. Mon résultat est :
1 + (1 - a)x + (1 - a)x² + (1/3) x^3 +...

Posté par
JJare : Les fonctions 17-01-10 à 07:35

Tour la question 2, tu devrais bien lire ce qui est écrit dans l'énoncé et bien suivre pas à pas ce qu'on dit de faire :
Premièrement, dans f(x), remplacer x ar 1/u puisqu'on te dit de poser u=1/x
L'as-tu fait ? as-tu écrit explicitement la fonction de u que cela donne et dans laquelle il ne doit subsister aucun x.
Deuxièmement, on ne te dis pas de calculer le DL de cette fonction de u. On te demande de calculer le DL de cette fonction multipliée par u.
Si on ne multipliait pas par u, la limite serait infinie, donc pas de DL possible.
En multipliant la fonction par u qui tend vers 0, la limite est finie et le DL est possible.

Posté par
ludelu1981re : Les fonctions 18-01-10 à 01:10

Merci Jja et désolé pour mes erreurs. Je viens de corriger mon erreur concernant la première question j'avais un x3 en trop.
Concernant la deuxième question voici ce que j'ai fait en remplaçant x par 1/u:
fa(x) = \frac{1}{u}(\frac{1 - au + u^2}{\sqrt{1 + u^2}})e^{\frac{pi}{2} - arctan(u)}.
Et donc par suite on a :
ufa(x) = (\frac{1 - au + u^2}{\sqrt{1 + u^2}})e^{\frac{pi}{2} - arctan(u)}.
Et ensuite je calcule le DL à l'ordre 3 de la dernière expression est ce bien ça?
Pouriez vous me dire si sur le point de vue de la fin si l'exposant de l'exponentielle est correcte car j'ai un pi/2.
De plus pourriez vous me dire pourquoi dans l'énnoncé il est est indiqué dans l'égalité de la fonction arctan l'expression u/|u|.

Merci d'avance. Et bonne nuit JJa.

Posté par
JJare : Les fonctions 18-01-10 à 08:13

Bonjour ludelu1981

Ton écriture de la fonction de u est exacte si u est positif. Mais elle ne l'est pas si u est négatif.
En effet, pour u>0 et tendant vers 0, 1/u tend vers +infini et arctan(1/u) tend bien vers +pi/2
Au contraire, pour u<0 et tendant vers 0, 1/u tend vers -infini et arctan(1/u) tend vers -pi/2
Il faut donc écrire l'exposant de façons différentes en distinguant les deux cas.
Dans l'énoncé, l'écriture u/(valeur absolue de u) est une autre façon d'écrire "signe de u".

Posté par
ludelu1981re : Les fonctions 19-01-10 à 14:25

Merci Jja de vos explications.
Je vous met la suite de ma réponse.
Ainsi dans le cas ou u > 0 j'ai fait le DL à l'ordre 3 de fa(x) et voici les calculs intermédiaires :
\frac{\pi}{2} - arctan(u) = \frac{\pi}{2} - u - \frac{u^3}{3} + u^3\epsilon(u)
ensuite
e^{\frac{\pi}{2} - arctan(u)} = 1 + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi ^2}{2} + \frac{\pi ^3}{48} + \frac{\pi ^2}{8} + u(-1 - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) + u^2 (\frac{\pi}{4}) + u^3 (\frac{\pi}{8} - \frac{1}{6})

Parsuite je calcule :
(1 - au + u2)e/2 - arctan(u)
= 1 + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi ^2}{2} + \frac{\pi ^3}{48} + \frac{\pi ^2}{8} + u(-2 - \frac{9\pi}{8} - \frac{\pi ^2}{2} - \frac{\pi ^3}{48}) + u^2 (\frac{3\pi}{4} + a + 1 + \frac{\pi}{2}a + \frac{5\pi ^2}{8} + \frac{\pi^3}{48}) + u^3 (\frac{-7}{6} - \frac {\pi}{2}) + u^3 \epsilon (u)

Ensuite je calcule le DL de la racine carré que je fait passé au numérateur d'où
(1 + u^2)^{-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2} u^2

ET pour finir j'obtient :
fa(u) =
1 + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi ^2}{2} + \frac{\pi ^3}{48} + \frac{\pi ^2}{8} + u(-2 - \frac{9\pi}{8} - \frac{\pi ^2}{2} - \frac{\pi ^3}{48}) + u^2 (\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} + a + \frac{\pi}{2}) + u^3 (\frac{-1}{6} + \frac{\pi}{16} + \frac {\pi ^2}{4} + \frac{\pi ^3}{96}) + u^3 \epsilon (u)

Et ensuite je remplace u par 1/X et je peux en déduire que lorsque x tend vers l'infinie alors la fonction f admet une assymptote horizontale d'équation
y = 1 + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi ^2}{2} + \frac{\pi ^3}{48} + \frac{\pi ^2}{8}

J'espère ne pas avoir fait trop d'érreurs de frappe. Merci d'avance pour le temps que vous allez me consacrer.
Passer une bon journée. En attente de vous lire. Ludovic

Posté par
JJare : Les fonctions 22-01-10 à 07:06

Attention lorsque tu développes exp((pi/2)-arctg(u)) !!!
Lorsque u tend vers 0, (pi/2)-arctg(u) ne tend pas vers 0.
Tu utilises le développement de exp(x) comme si x =(pi/2)-arctg(u) tendais vers 0 alors que ce n'est pas le cas : c'est cela qui ne va pas. Conséquence: tout ce que tu as écris est à refaire (sauf la première équation).
Il faut écrire :
exp((pi/2)-arctg(u)) = (exp(pi/2))*exp(-arctg(u))
et développer exp(-arctg(u))
car -arctg(u) tend bien vers 0.
Remarque : Tu aurais aussi pu utiliser le développement de exp(x) au voisinage de x=pi/2 (et non pas au voisinage de x=0 comme tu l'as fait). Cela aurait donné le bon résultat, mais ce serait plus compliqué.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !