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les fonctions
f est la fonction définie sur ]3;+l'infini ]par:
f(x)=x-8+4/x-3.
provez que -1 est le minimun de f sur ]3;+l'infini]
comment peut on faire je n'est apris qu'avec un graphique.
merci a ceux qui peuvent m'aider .bisous.
On peut déterminer les variations de f.
A condition que tu connaisses la méthode:
Avec 3 < a < b
f(a) = a - 8 + 4/(a-3)
f(b) = b - 8 + 4/(b-3)
f(b) - f(a) = b - a + 4.[1/(b-3) - 1/(a-3)]
f(b) - f(a) = b - a + 4.[(a-3)-(b-3)]/[(b-3)(a-3)]
f(b) - f(a) = b - a + 4.(a-b)/[(b-3)(a-3)]
f(b) - f(a) = (b - a) .[1 - 4/((b-3)(a-3))]
b - a > 0 puisque a < b ->
f(b) - f(a) a le signe de [1 - 4/((b-3)(a-3))]
a)
Si [1 - 4/((b-3)(a-3))] < 0
1 < 4/((b-3)(a-3))
(b-3).(a-3) > 0 puisque a et b > 3 ->
(b-3)(a-3) < 4
Si b < 5, a aussi puisque b > a -> (b-3)(a-3) < 4 est alors réalisé.
f(b) - f(a) < 0 et f est décroissante pour x dans ]3 ; 5[.
b)
Si [1 - 4/((b-3)(a-3))] > 0
1 > 4/((b-3)(a-3))
(b-3).(a-3) > 0 puisque a et b > 3 ->
(b-3)(a-3) > 4
Si a > 5, b aussi puisque b > a -> (b-3)(a-3) > 4 est alors réalisé.
f(b) - f(a) > 0 et f est croissante pour x dans ]5 ; oo[.
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De ce qui précède, on conclut que f(x) a un minimum pour x = 5.
Ce min vaut f(5) = 5 - 8 + 4/(5-3) = 5 - 8 + 2 = -1
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Sauf distraction . 
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