Bonjour
J'aurais besoin d'aide pour un devoir sur les groupes


Le but de l'exercice est de déterminer la valeur de x*...*x  pour xG, G un groupe muni de la loi *


2) Dans cette question, on suppose que (G,*) est un groupe commutatif ayant n éléments, l'élément neutre de G est noté e

Soit a un élément de G donné

a) xG, _a(x)=a*x
On a montré que _a est bijective

b) Si x₁,...,x_p sont p éléments de G on note _i=1^p x_i l'élément x₁*...*x_p
En évaluant de deux façons différentes l'élément _xG(a*x) , déterminer la valeur de a*...*a  (n fois "a")

3) Dans cette question, on suppose que (G,*) est un groupe ayant n éléments, l'élément neutre de G est noté e, et (G,*) n'est plus supposé commutatif
Pour tout élément x de G, on notera x^-1 son symétrique pour la loi *
Soit (H,*) un sous-groupe de (G,*)

a) On considère deux éléments x et y appartenants à G, on dit que x est en relation, ce que l'on note xRy, lorsque x*y^-1H

  i) On a montré que xG, xRx car x*x^-1 = e H

  ii) Montrer que (x,y)G², xRy yRx

  iii) Montrer que R est transitive, c'est à dire : (x,y,z)G³,   xRy et yRz xRz

b) Soit xG, on note C_x l'ensemble {yG, yRx}

  i) Montrer que (x,y)G², xRy C_x = C_y

  ii) Montrer que (x,y)G², C_x = C_you C_xC_y =

  iii) Montrer que xG, Card C_x = Card H