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les itérés d un élément d un groupe fini
j'ai pas mal de problèmes avec cet exercice en particulier la question 2b et la question 3 avec laquelle je bloque dès le début... Est ce que quelqu'un pourrait m'aider? Merci d'avance bon dimanche
1) Soit n un entier naturel non nul, donner un exemple de groupe G ayant n éléments.
Si la loi de ce groupe est notée * et si n est le nombre d'éléments de ce groupe, déterminer la valeur de
x * .., * x( n fois x) pour tout x appartenant à G.
Le but des questions qui suivent est de généraliser ce résultat dans deux cas différents.
2) Dans cette question on suppose que (G, *) est un groupe commutatif ayant n éléments, l'élément neutre de
G est noté e.
Soit a un élément donné de G.
a) Montrer que l'application Pa définie par:
pour tout x appartenant à G, Pa(x)=a*x
est une bijection de G dans lui-même.
b) Si xl, ..., xp sont p
p
éléments de G on note II Xi l'élément x1*… *xp. i=1
En évaluant de deux façons différentes l'élément: II (a * x), déterminer la
x E G
valeur de a * ... * a (n fois a)
3) Dans cette question on suppose que (G,*) est un groupe ayant n éléments, l'élément neutre de G est noté
e, et dans cette question (G, *) n'est pas supposé commutatif.
On considère un élément a de G.
Pour tout entier naturel p non nul on pose a^p = a *... * a (p fois a)
on convient que a^0 = e.
Ainsi par définition a^p * a^q = a^(p+q) et (a^p)q = a^pq, pour tout couple d'entiers naturels p et q.
a)Montrer que les éléments a^p où p décrit N ne peuvent pas être distincts deux à deux
b)En déduire qu'il existe deux entiers p et q distincts tels que a^p = a^q.
c)En déduire que l'ensemble {k E N*,a^k = e} est une partie non vide de N.
On note Pa son plus petit élément.
d)Montrer que les éléments a^0, ..., a^(Pa-1) sont distincts deux à deux.
e)Montrer que: {ak, kEN} = {ak, k E {O,... ,Pa - 1}}. On pourra utiliser la division euclidienne par Pa.
f) Pour tout x appartenant à G, on note Cx l'ensemble {x, a * x, a² * x,... , a^(pa-l) * x}.
. Déterminer le nombre d'éléments de Cx.
. Montrer que si y appartient à Cx alors Cx = Cy.
. Soit u et v deux éléments de G, montrer que, ou bien Cu = Cv, ou bien l'intersection de Cu et Cv est l'ensemble vide.
. Est-ce qu'il peut exister une infinité d'ensembles Cu disjoints deux à deux?
g) Déduire des questions précédentes la valeur de a^n.
2b) puisque a* est une bijection , les n éléments de G x1, ..., xn ont pour images une permutation de ces mêmes éléments donc II (a * x)=II (x)
Or II (a * x)=II (a)II (x) donc II (a)=e si e est l'élément neutre
A toi de continuer...
question en passant vu que je suis sur les gpes aussi, c'est quoi une permutation?
et comment on pourrait faire pour trouver ca d'une 2e facon?
je vais essayer de faire ce devoir, même si je suis sur que je vais vite être bloqué 
Bonsoir;
Commentaire:
Cet exercice propose une démonstration du théorème dit de Lagrange dont l'énoncé est le suivant:
Soit
alors
Stratégie:
La démonstration est faite en deux temps:
(*)Cas d'un groupe commutatif (partie I)
(*)Cas général (partie II)
Résolution:
1)Considérons le groupe additif des entiers modulo :
il est clair que
2)a) Fixons et considérons l'application
(*)vu que est une loi de composition interne,l'application
est bien définie.
(*) (car dans un groupe tout élément est régulier)
est donc injective et réalise par conséquent une bijection de
sur
et donc que
et donc que
(puisque
)
On conclut que est aussi surjective c'est donc une bijection de
dans lui m^me.
2)b) Notons comme
est une bijection on a aussi
et donc que
étant commutatif on voit que
ou encore
et comme dans un groupe tout élément est régulier on conclut que:
ce qui achève la partie
à suivre
Sauf erreurs bien entendu 
j'avais réussi la 2a apres coup, mais pas la 2b en totalité, merci bcp pour la réponse 
juste pour etre sur, il ne faudrait pas écrire (a*a*..*a)*(x1*..*xn) juste avant la conclusion?
bon, je crois avoir tout trouvé jusqu'a la e), mais la f me semble bien compliquée^^
ds la 1er question de la f, ca doit etre Pa éléments, mais apres, je seche
Bonsoir flopiflopa;
f)
-Vu que les éléments
sont 2 à 2 distincts ils forment un ensemble à
éléments:
- et comme
où
est le reste de la division euclidienne de
par
on voit que
et vu que ces deux ensembles ont le m^me nombre d'éléments (
) on conclut qu'ils sont égaux:
.
- deux cas à discuter:
ou
-Les sont nécéssairement en nombres fini car sinon leur réunion (qui est disjointe) serait infini ce qui est absurde puisqu'elle est contenue dans
qui est fini.
g)
Vu que on voit que les
forment une partition de
soit alors
leur nombre on a donc:
et donc que
Sauf erreurs bien entendu
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