Niveau Maths sup

les moyennes

Posté par
flashy 10-12-06 à 13:22

Bonjour,

Voilà mon exercice:
x₁,x₂,...,x_n étant n réels > 0, on note a,g,h et q les moyennes arithmétique,géométrique,harmonique et quadratique définies par:
$a=\frac{1}{n}$ $x_{i}$

$g=\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}$

$\frac{1}{h}=\frac{1}{n}$ $\frac{1}{x_{i}}$

$q=\sqrt{\frac{1}{n}\sum(x_{i} ^2)}$
avec la somme allant de i=1 à n.

1)pour n=2, j'ai démontré que hgaq.
2) montrer que lnxx-1
----enfait je sait que x-1 est l'équation de la tangente à lnx en 1 et que la courbe et en dessous de cette tangente mais je n'arrive pas à le démontrer par des calculs??
3)dans cette question et les suivantes, on suppose n2:
en prenant x=xi/a, montere que: ga
----j'ai remplacé dans g et j'obtient:ga $x\sqrt{a}$ a mais je n'arrive pas à démontrer que c'est vrai. mais est ce que j'ai le bon début?
4)en remplaçant xi par 1/xi, montrer que: hg???
5) montrer l'inégalité de cauchy schwartz (c'est bon, je l'ai fait)
6) montrer que aq???

Posté par re : les moyennes 10-12-06 à 16:29

Salut ...

1.
$h \leq g$ provient du fait $(x_1-x_2)^2 \geq 0$
$g \leq a$ provient du fait $(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2 \geq 0$
$a \leq q$ provient du fait $(x_1-x_2)^2 \geq 0$

2.
La fonction ln est concave sur $\mathbb{R}^{+*}$ donc au dessous de toutes ses tangentes, en particulier de sa tangente en 1
T:y = x-1
Donc
$\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, ln x \leq x-1$

Posté par re : les moyennes 10-12-06 à 16:45

3.
Pour $k \in \{1,...,n\}$ , on a :
$ln(\frac{x_k}{a}) \leq \frac{x_k}{a} - 1$
$ln(x_k) \leq ln(a) + \frac{x_k}{a} - 1$

en sommant sur k on obtient :
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} ln(x_k) = nln(a) + \frac{1}{a} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k -n = nln(a)$
Donc
$\frac{1}{n} ln(x_1 ... x_n) \leq ln(a)$
Donc
$g \leq a$

Posté par re : les moyennes 10-12-06 à 16:52

4.
On sait que :
$(x_1...x_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k$

En remplacant $x_k$ par $\frac{1}{x_k}$ on obtient :
$(x_1...x_n)^{-1/n} \leq \frac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}$
i.e
$\frac{1}{g} \leq \frac{1}{h}$

et la décroissance de la fonction inverse permet de conclure ...

Posté par re : les moyennes 10-12-06 à 17:12

5.
Soit $(a_1, ... , a_n); (b_1,...,b_n) \in \mathbb{R}^n$

$\forall x \in \mathbb{R}, \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_kX + b_k)^2 \geq 0$
Or
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_kX + b_k)^2= (\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k^2)X^2 + \displaystyle 2(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k)X + (\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k^2)$ est un trinome en X dont le signe reste constant sur $\mathbb{R}$
Donc
$\Delta = \displaystyle 4(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k)^2 - 4(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_k^2)(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_k^2) \leq 0$

D'ou l'inégalité de C-S

Posté par re : les moyennes 10-12-06 à 17:15

6.
A l'aide de l'inégalité de C-S, en posant :
$a_k = x_k$
$b_k = 1$
on obtient :
$a \leq q$

Posté par merci beaucoup

10-12-06 à 20:05

merci beaucoup de m'avoir donné des explications aussi complètes

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