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Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ?

Posté par
andrétou 02-08-05 à 15:53

Bonjour tout le monde
D'avance, excusez-moi pour la longueur de la question, et merci à ceux qui ont la patience de la lire et plus encore le courage d'y répondre !...

Vous connaissez sans doute les paradoxes antiques qui démontrent (?) notamment qu'Achille ne rattrapera jamais la tortue à la course, car pendant qu'Achille parcourt la distance qui le sépare de la tortue, celle-ci aura avancé un petit peu, de sorte qu'il restera toujours à Achille une certaine distance à parcourir pour atteindre la tortue.
A toutes les époques, les mathématiciens ont toujours affirmé qu'Achille rattrapera la tortue (et on reconnaît là leur bon sens naturel ), mais il semblerait que chaque génération de mathématicien résoud à sa manière le paradoxe, laissant entendre que les générations précédentes ne l'avaient pas correctement résolu ; ainsi, au hasard de mes lectures, j'ai découvert que Richard Feynman (années 1960) considérait que les Grecs se posaient de faux problèmes et qu'il suffisait de reformuler correctement le problème pour que le paradoxe disparaisse ; mais j'ai aussi lu dans certains ouvrages de vulgarisation que la résolution de ces paradoxes avait été rendue possible dans les années 1970 avec l'invention de l'analyse non standard (me demandez pas ce que c'est j'en ai pas la moindre idée)...

Alors qu'en est-il aujourd'hui ? Quels sont les outils mathématiques qui permettent de lever ces paradoxes ? Et sont-ils complètement et définitivement levés ?
Bien à tous
André

Posté par
Nightmarere : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 16:12

Bonjour

As-tu entendu parlé des théorèmes de Gödel? Ils illustrent bien ta question


jord

Posté par
andrétoure : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 16:15

Tu veux dire que ces paradoxes sont des propositions indécidables ? Qu'on ne peut dire s'il est vrai ou s'il est faux qu'Achille rattrapera la tortue ?...
Bien à toi
André

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 16:45


J'ai préparé cela rapidement. Il y a peut-être quelques fautes de frappe en LaTeX...

Soit u la vitesse d'Achille
Soit v la vitesse de la tortue : v<u
Soit d_0 le retard (en distance) d'Achille au départ.

Quand Achille rejoint-il la tortue ?

1) Résolution "normale"

Soit d' la distance parcourue par la tortue entre le début de la course et le moment où Achille la rejoint.

durée de la course = durée de la course d'Achille = durée de la course de la tortue

durée de la course = \frac{d_0+d'}{u} = \frac{d'}{v}
donc d'=d_0\frac{v}{u-v}
Et Achille rejoint la tortue après une durée :
\frac{d'}{v} = \frac{d_0}{u-v}

2) Analyse (et élimination !) du paradoxe

La course débute à t_0 : Achille est séparé de la tortue d'une distance d_0.

Soit t_1 le moment où Achille a parcouru la moitié de d_0. La tortue a avancé un peu pendant cette durée t_1-t_0. Soit d_1 la nouvelle distance les séparant en t_1.

Soit t_2 le moment où Achille a parcouru la moitié de d_1. La tortue a avancé un peu pendant cette durée t_2-t_1. Soit d_2 la nouvelle distance les séparant en t_2.

Etc...

Soit t_{n+1} le moment où Achille a parcouru la moitié de d_n. La tortue a avancé un peu pendant cette durée t_{n+1}-t_n. Soit d_{n+1} la nouvelle distance les séparant en t_{n+1}.

On a l'impression que cela ne finit jamais, mais ces suites convergent !
On a :
t_{n+1}-t_n = durée pour qu'Achille parcourt \frac{d_n}{2} = \frac{d_n}{2u}
Donc :
d_{n+1} = distance entre Achille et la tortue à t_{n+1}
= \frac{d_n}{2} + petite avancée de la tortue pendant t_{n+1}-t_n
= \frac{d_n}{2}+(t_{n+1}-t_n)v= \frac{d_n}{2}+\frac{d_n}{2u}v = d_n\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})

Donc d_n=d_0.[\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})]^n
Or v<u, donc [\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})]<1 et
d_n tend vers 0

Continuons pour voir si t_n converge...

t_{n+1}-t{n}=\frac{d_n}{2u}
t_{n+1}=t_n+\frac{d_0}{2u}.[\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})]^n
donc
t_n=t_0+\frac{d_0}{2u}.\Bigsum_{k=0}^{n-1}[\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})]^k
t_n=t_0+\frac{d_0}{2u}.\frac{1-[\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})]^n}{1-[\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})]}
Donc t_n-t_0 tend vers
\frac{d_0}{2u}.\frac{1}{1-[\frac{1}{2}(1+\frac{v}{u})]}=\frac{d_0}{u-v}

Et on retrouve (heureusement !) le résultat de 1)

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 16:50

En résumé, pour répondre à ta question, les "outils mathématiques qui permettent de lever ces paradoxes" sont tout simplement les limites de suites réelles.

Nicolas

Posté par
Nightmarere : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 16:54

Pour lever certains paradoxes, il faut aller plus loin que dans la théorie formelle sur laquelle on base l'énoncé.

Par exemple dans le paradoxe du Barbier :

Dans le village X, le barbier rase tous les hommes de X qui ne se rasent pas eux-mêmes et aucun autre. Le barbier se rase-t-il ?
Le paradoxe se léve en ajoutant l'axiome : "le barbier n'est pas un homme de X"

Le paradoxe trés connu de Russel :
Il existe 2 classes d'ensembles : Les ensembles normaux qui ne se contiennent pas eux même et les ensembles non-normaux qui se contiennent eux même. A quelle classe appartient l'ensemble des ensemble normaux?
Cet exemple illustre bien la théorie d'incomplétude de Gödel.

Pour lever le paradoxe on considére que dans un "métalanguage", une classe d'ensemble n'est pas un ensemble.


jord

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 17:15

Pour essayer d'illustrer mieux le "faux" paradoxe...

Le paradoxe repose sur l'idée que la somme d'un nombre infini de nombres est elle-même infinie, mais... c'est faux !

Avec mes notations du 2) ci-dessus, Achille rejoint la tortue après avoir parcouru une distance \Bigsum_{n=0}^{\infty} d_n et après une durée \Bigsum_{n=0}^{\infty} (t_{n+1}-t_n)

Le paradoxe repose sur l'idée que ces deux séries divergent. Mais en fait elles convergent, car leur terme est de la forme \alpha.\beta^n avec \beta <1

Nicolas

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 17:57

Et si on présente le problème comme suit:

Achille évalue à chaque seconde la distance qui le sépare de la tortue et il adapte sa vitesse pour couvrir la moitié de cette distance dans la seconde qui suit.
Achille atteindra-t-il jamais la tortue ?



Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 18:08

Je tente une réponse :
"Non. Et la distance entre Achille et la tortue tend vers le double de la distance parcourue par la tortue en 1s"

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 02-08-05 à 18:14


Pour le second problème...

Soit d_n la distance séparant Achille de la tortue à la seconde n.
Soit v la vitesse de la tortue.
Soit \Delta t = 1 seconde

d_{n+1} = \frac{d_n}{2}+v\Delta t
Donc
(d_{n+1}-2v\Delta t)=\frac{1}{2}.(d_n-2v\Delta t)
d_n = 2v\Delta t + (d_0-2v\Delta t).(\frac{1}{2})^n
Quand n tend vers l'infini, d_n tend vers 2v\Delta t

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Les paradoxes de Zénon sur le mouvement sont-ils levés ? 03-08-05 à 05:15

(toujours pour le second problème)

... et la vitesse d'Achille tend vers celle de la tortue.


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