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Les proportions d'une casserole économique - dérivation
Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice tiré du transmaths chez nathan.
Voici son énoncé:
Vous êtes-vous demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approxivativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance?
Pour répondre à cette question, on se propose de résoudre le problème suivant:
Comment fabriquer une casserole de volume v donné avec le moins de métal possible?
On suppose que le prix de revient du manche ne dépend pas de la casserole.
L'unité est le centimètre. On note x le rayon du cercle de fond, h la hauteur, et S l'aire totale égale à l'aire latérale plus l'air du fond.
1. a) Démontrez que h = v/ 
x2.
b) Démontrez que S = x2+ 2v/x
2. a) Etudiez sur ]0:+
[ les variations de la fonction x 
x2+ 2v/x
b) Concluez en montrant que h = x.
Sinon la forme de la casserole est un cylindre en enleavant le manche voila merci.
bonjour
aire de la base : pi.x²
hauteur : vol/(pi.x²)
aire latérale : vol/(pi.x²) * 2pi.x = 2vol/x
aire totale : pi.x² + 2vol/x
la dérivée de l'aire totale est 2pi.x -2vol/x²
la dérivée seconde est 2pi + 4vol/x³ qui est toujours positif dans ]0;infini[
la dérivée croît donc toujours
elle est nulle quand 2pi.x - 2vol/x² = 0;
alors 2pi.x = 2vol/x²; x = vol/(pi.x²) = h (voir calcul de h ci-dessus)
elle est négative avant et positive après, c'est-a-dire que la surface est minimum quand la dérivée est nulle (quand 2pi.x - 2vol/x² = 0 et que x = vol/(pi.x²) = h
Merci beaucoup.
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