Excusez moi, en fait c'est cette égalité qui vérifiée par les nombres x , y , z

  
                            √x+ √(y-1 )+ √(z-2)= 1/2 (x+y+z)

Remarque : L'ensemble auquel appartiennent x,y,z n'est pas mentionné.

bonjour

tu sais que 2V(ab)<=a+b   car (Va-Vb)²>=0
et il ya égalité lorsque a=b

maintenant les racines carrés n'on de sens que si x>=0 et y>=1 et z>=2
dans ce cas
tu as:
2Vx=2V(x*1)<=x+1 et il ya égalité si x=1
2V(y-1)=2V((y-1)*1)<=(y-1)+1=y et il ya égalité si y-1=1 cad si y=2
2V(z-2)=2V(z-2)*1)<=(z-2)+1=z-1 et il ya égalité si z-2=1 cad si z=3

et l'on a
2Vx+2V(y-1)+2V(z-2)<=(x+1)+(y)+(z-1) donc
2Vx+2V(y-1)+2V(z-2)<=x+y+z donc
V(x)+V(y-1)+V(z-2)<=(1/2)(x+y+z)
il y a égalité si x=1 et y=2 et z=3

plus directement:

x+y+z-2V(x)-2V(y-1)-2V(z-2)= (x+1-2Vx)+(y-V(y-1)+(z-1-2V(z-2))
comme Vx+V(y-1)+V(z-2)=(1/2)(x+y+z)
donc
x+y+z-2V(x)-2V(y-1)-2V(z-2)=0
donc
(x+1-2Vx)+(y-V(y-1)+(z-1-2V(z-2))=0
comme x+1-2V(x)>=0 et y-2V(y-1)>=0 et z-1-2V(z-2)>=0
donc
x+1-2V(x)=0 et y-2V(y-1)=0 et z-1-2V(z-2)=0
donc
((Vx)-1)²=0 et (V(y-1)-1)²=0 et (V(z-2)-1)²=0
donc
Vx=1 et V(y-1)=1 et V(z-2)=1
donc
x=1 et y-1=1 et z-2=1
donc
x=1 et y=2 et z=3
----------
voila

Il faut procéder par analyse synthèse :

Analyse : Supposons (x,y,z) tels que   √x+ √(y-1 )+ √(z-2)= 1/2 (x+y+z)

Alors   2√x+ 2√(y-1 )+ 2√(z-2)=x+y+z
équivalent à
équivalent à

équivalent à

Donc chacun des termes est nul ie


Synthèse :

et

Bonjour,


Tel quel :une équation ,trois inconnues , le système
n'est pas déterminé.
Peut-être faut-il rechercher une solution entière.


Dans l'approche de  √x+ √(y-1 )+ √(z-2)=(x+y+z)/2
il est possible de s'affranchir des décalages -1,-2



x=u=v=1 est une solution,



Alain

j'aime bien la demo de Kaname d'autant plus que ce sont des equivalences
la demo peut tenir en 3 lignes (presque)
Les propositions suivantes sont équivalentes:
x+y+z-2*sqrt(x)-2*sqrt(y-1)-2*sqrt(z-2)=0 et x>=0 et y>=1 et z>=2
(sqrt(x)-1)^2+(sqrt(y-1)-1)^2+(sqrt(z-2)-1)^2=0 et x>=0 et y>=1 et z>=2
x=1 et y=2 et z=3