Niveau autre

les séries.

Posté par sarius (invité) 29-11-05 à 23:06

bonsoir j'ai un petit problème il faut répondre par vrai ou faux et justifier:
1-on a $\Bigsum_{n=0}^\infty r^ncos(nx)=1-rcos(x)/r^2+1-2rcos(x)$ ,pour tout xet tout r]-1,1[.

2-la série $(-1)^n (2n)!/4^n(n!)^2$ converge.

Posté par re : les séries. 29-11-05 à 23:17

Bonsoir Sarius

Je te conseille de regarder la série de terme général $r^{n}e^{inx}$ , de montrer qu'elle est coonvergente (ce qui n'est pas difficile) et puis d'en prendre la partie réelle. En fait, avec cette méthode, je trouve que le 1) est vrai.
Pour le 2, il faut que j'y réflechisse encore.

Kaiser

Posté par sarius (invité)re : les séries. 29-11-05 à 23:20

merci kaiser

Posté par re : les séries. 29-11-05 à 23:30

En fait, pour le 2), ce n'est pas si difficile que ça (le (-1)ⁿ m'a mis la puce à l'oreille).
Notons $a_{n}=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}$ .
En utilisant la formule de Stirling, on s'aperçoit que $a_{n}$ ~ $\frac{1}{\sqrt{n\pi}}$ . Donc (a_{n}) tend vers 0.
De plus, $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2n+1}{2n+2}<1$ , d'où l'on déduit que (a_{n}) est décroissante.
Ensuite, il ne te reste plus qu'à appliquer le théorème spécial des séries alternées.

Kaiser

Posté par les séries. 30-11-05 à 00:02

Bonsoir sarius;
1/En posant $3$\fbox{z=re^{ix}=rcos(x)+irsin(x)}$ tu as que $3$\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\\z^n=r^{n}cos(nx)+ir^{n}sin(nx)}$ et donc que $3$\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\\r^{n}cos(nx)=Re(z^n)}$ et tu peux alors écrire que $3$\fbox{(\forall N\in\mathbb{N})\\\Bigsum_{n=0}^{N}r^{n}cos(nx)=Re(\Bigsum_{n=0}^{N}z^n)}$ et vu que $3$\fbox{|z|=|r|<1}$ tu as donc que $3$\fbox{(\forall N\in\mathbb{N})\\\Bigsum_{n=0}^{N}r^{n}cos(nx)=Re(\frac{1-z^{N+1}}{1-z})}$ et comme $3$\fbox{\lim_{N\to+\infty}|z^{N+1}|=\lim_{N\to+\infty}|z|^{N+1}=\lim_{N\to+\infty}|r|^{N+1}=0}$ on a que $3$\fbox{\lim_{N\to+\infty}z^{N+1}=0}$ enfin par continuité de la fonction $3$\fbox{\mathbb{C}\to\mathbb{R}\\z\to Re(z)}$ on a que:
$\fbox{\Bigsum_{n=0}^{+\infty}r^{n}cos(nx)=\lim_{N\to+\infty}\Bigsum_{n=0}^{N}r^{n}cos(nx)=\lim_{N\to+\infty}Re(\frac{1-z^{N+1}}{1-z})=Re(\lim_{N\to+\infty}\frac{1-z^{N+1}}{1-z})=Re(\frac{1}{1-z})=\frac{1-rcos(x)}{r^2+1-2rcos(x)}}$ .
2/En posant $3$\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\\a_n=\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^2}>0}$ on vérifie facilement que $3$\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\\\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+1}{2n+2}<1}$ et donc que la suite $(a_n)$ est décroissante strictement positive et vu que $3$\fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\\ln(a_{n+1})-ln(a_n)=ln(1-\frac{1}{2n+2})}$ on voit que la série de terme général $ln(a_{n+1})-ln(a_n)$ diverge vers $-\infty$ ( puisque ce terme est équivalent à $-\frac{1}{2n}$ ) c'est à dire que $3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}a_n=0}$ la suite $(a_n)$ décroit donc vers $0$ et le critére spécial des séries alternées permet de conclure.

Sauf erreurs bien entendu

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