Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

les sommes

Posté par viviroussel (invité) 03-10-05 à 21:19

on suppose que la somme de n à i=1 de |xi| = 1 et la somme de i=1 à n de xi = 0
il faut remarquer que la somme de n à i=1 de [ xi(1+(1/n))]=0
et ensuite déduire que la valeur absolue de la somme de i=1 à n de (xi/i) < (1/2)(1-1/n)
je ne vois pas comment procéder, j'espère que quelqu'un pourra me dépannr merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:les sommes 04-10-05 à 04:34

Bonsoir viviroussel;
Notons 3$\fbox{I_+=\{i\in\{1,..,n\}/x_i>0\}\\I_-=\{i\in\{1,..,n\}/x_i<0\}} on peut écrire 3$\fbox{0=\Bigsum_{i=1}^{n}x_i=\Bigsum_{i\in I_+}x_i+\Bigsum_{i\in I_-}x_i\\1=\Bigsum_{i=1}^{n}|x_i|=\Bigsum_{i\in I_+}x_i-\Bigsum_{i\in I_-}x_i} et donc que 3$\fbox{\Bigsum_{i\in I_+}x_i=\frac{1}{2}\\\Bigsum_{i\in I_-}x_i=-\frac{1}{2}}
D'autre part on a que:
3$\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}=\Bigsum_{i\in I_+}\frac{x_i}{i}+\Bigsum_{i\in I_-}\frac{x_i}{i}} et vu que 3$\fbox{\forall i\in I_+\hspace{5}\frac{x_i}{i}\le x_i\\\forall i\in I_-\hspace{5}\frac{x_i}{i}\le\frac{x_i}{n}} on a que:
3$\fbox{\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}\le\Bigsum_{i\in I_+}x_i+\frac{1}{n}\Bigsum_{i\in I_-}x_i=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n})}
et de la mm manière on a que:
3$\fbox{-\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}=\Bigsum_{i\in I_+}\frac{-x_i}{i}+\Bigsum_{i\in I_-}\frac{-x_i}{i}} et vu que 3$\fbox{\forall i\in I_+\hspace{5}\frac{-x_i}{i}\le\frac{-x_i}{n}\\\forall i\in I_-\hspace{5}\frac{-x_i}{i}\le-x_i} on a que:
3$\fbox{-\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}\le\frac{1}{n}\Bigsum_{i\in I_+}-x_i+\Bigsum_{i\in I_-}-x_i=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n})}
On conclut alors que:
4$\blue\fbox{|\Bigsum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{i}|\le\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n})} CQFD

Sauf erreurs bien entendu


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !