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les sommes...

Posté par alaide (invité) 17-02-06 à 17:21

Bonjours,j'aurais besoin d'aide pour un exo de maths:
J'ai f une fonction définie sur [0,1] a valeur dans R
Pour n appartenant a N*  et x appartenant a[0,1] on pose
(Bn(f))(x)= somme des k=0 jusqu'a n(n,k)f(n/k)x^k(1-x)^(n-k)
Il faut que je détermine Bn(f)
1)x appartient a [0,1],f(x)=1
et f(x)=x

je ne vois pas tro comment je dois m'y prendre!
Peut on m'aider???
Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : les sommes... 17-02-06 à 17:24

Bonjour,

Quand f est la fonction constante égale à 1, la somme est facile à calculer, non ? (binôme de Newton)

Nicolas

Posté par
kaiser Moderateurre : les sommes... 17-02-06 à 17:26

Bonjour alaide

Est-ce \large{B_{n}(f)(x)=\bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)f(\frac{n}{k})x^{k}(1-x)^{n-k}} ?

Kaiser

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 17:28

oui c'est exactement cela!!!!

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 18:28

Merci,et pour f(x) je ne vois pas trop comment simplifier?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : les sommes... 17-02-06 à 18:29

Tu veux dire pour f(x)=x ?

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 18:58

oui,j'obtien:
somme des k=0 jusqu'a n (n,k)x(x)^(k)(1-x)^(n-k)
=>(n,0)x(x)^0(1-x)^n+(n,1)x(x)^1(1-x)^(n-1)
=>(n,0)x(1-x)^n+(n,1)x^2(1-x)^(n-1)
et je sais plus trop quoi faire?

Posté par
kaiser Moderateurre : les sommes... 17-02-06 à 19:00

Pourquoi certains termes ont disparus?
Par ailleurs, n'oublie pas que \large{f(\frac{n}{k})=\frac{n}{k}}.

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 19:03

c'est a dire?
Là,je suis un peu perdue

Posté par
kaiser Moderateurre : les sommes... 17-02-06 à 19:05

Que n'as-tu pas compris dans mon dernier message ?
Ma question ou ma remarque ?

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 19:07

oui,je n'ai pas trop compris votre remarque,pouvez vous m'expliquer comment je dois écrire ma formule ayant f(x)=x s'il vous plait?

Posté par
kaiser Moderateurre : les sommes... 17-02-06 à 19:11

Avant toute chose :
Je viens de relire l'énoncé.
ça serais pas plutôt
\large{B_{n}(f)=\bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}}
au lieu de \large{B_{n}(f)=\bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)f(\frac{n}{k})x^{k}(1-x)^{n-k}} ?

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 19:14

oui c'est ça!!! j'avais pas fais attention désolée!!

Posté par
kaiser Moderateurre : les sommes... 17-02-06 à 19:23

On peut donc reprendre tranquillement :
\large{B_{n}(f)=\bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}}

Pour tout x de l'intervalle [0,1], on a f(x)=x.
Or pour tout entier k compris entre 0 et n, \large{\frac{k}{n}} est dans l'intervalle [0,1].
On en déduit que \large{f(\frac{k}{n})=\frac{k}{n}}.
D'où l'on déduit :
\large{B_{n}(f)=\bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)\frac{k}{n}x^{k}(1-x)^{n-k}=\frac{1}{n}\bigsum_{k=0}^{n}k\(n\\k\)x^{k}(1-x)^{n-k}}

Il faut donc tenter de simplifier cette expression.

Kaiser

Posté par
cqfd67re : les sommes... 17-02-06 à 19:30

bonsoir,

pour la derniere somme a simplifier, on peut voir que l'on retrouve la somme interveant dans le calcul de l'esperance d une varaible aléatoire suivant une loi binomiale de parametre (n,p)
donc on trouve que ta somme vaut n*x

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 19:33

Cqfd67,je n'ai pas trop compris votre explication?Pouvez vous préciser?

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 19:35

Merci beaucoup Kaiser pour votre aide!
Je vais tenter de simplifier maintenant...

Posté par
kaiser Moderateurre : les sommes... 17-02-06 à 19:36

Je t'en prie !

Posté par
cqfd67re : les sommes... 17-02-06 à 19:42

soit tu fais comme j ai dit que tu as déja vu cette somme quelque part et tu connais ca valeur soit tu dois la recalculer

sum(k*n!/[k!*(n-k)!]*x^k*(1-x)^(n-k),k=1..n) car pour k=0 ca fait zero
sum(n!/[(k-1)!*(n-k)!]*x*^k*(1-x)^(n-k),k=1..n)

on pose j=k-1 on obtient

sum(n*(n-1)!/[j!(n-1)!]*x^(j+1)*(1-x)^(n-1+j),j=0..n-1)
=n*x*sum((n-1)!/[j!*(n-1-(k-1)!]*x^j*(1-x)^(n-1+j),j=0..n-1)
=n*x*(x+1-x)^(n-1) d apres la formule du binome de Newton
n*x

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 17-02-06 à 19:51

merci beaucoup Cqfd67  pour votre aide!

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 18-02-06 à 22:12

Je n'arrive pas a trouver comment calculer (Bn(f))'(x) Pouvez vous m'aider s'il vous plait
Merci d'avance

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : les sommes... 19-02-06 à 04:28

Bonjour,

Tu ne précises pas si le calcul doit être fait dans le cas général, ou dans l'un des deux cas particuliers. Je prends le cas général.

B_{n}(f)(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}
B_{n}(f) est dérivable sur ]0;1[. On se place sur cet intervalle.
On isole le premier et dernier terme :
B_{n}(f)(x)=f(0)(1-x)^n+\Bigsum_{k=1}^{n-1}\(n\\k\)f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}+f(1)x^n
Or, en appliquant la formule (uv)'=u'v+uv', on obtient, après quelques calculs simples :
\forall k\in\mathbb{N}, 1\le k\le n-1, \left[x^k(1-x)^{n-k}\right]'=...=\frac{1}{x(1-x)}\frac{k}{n}\left[x^k(1-x)^{n-k}\right]-\frac{n}{1-x}\left[x^k(1-x)^{n-k}\right]
(On s'est arrangé pour faire apparaître à nouveau les \left[x^k(1-x)^{n-k}\right] de l'expression de B_{n}(f)(x))
Donc :
B_{n}(f)'(x)=-nf(0)(1-x)^{n-1}+\frac{n}{x(1-x)}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\(n\\k\)\frac{k}{n}f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}-\frac{n}{1-x}\Bigsum_{k=1}^{n-1}\(n\\k\)f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}+nf(1)x^{n-1}
On complète les \Bigsum_{k=1}^{n-1} en \Bigsum_{k=0}^{n} :
B_{n}(f)'(x)=-nf(0)(1-x)^{n-1}+\frac{n}{x(1-x)}\Bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)\frac{k}{n}f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}-0-\frac{n}{x(1-x)}f(1)x^n
-\frac{n}{1-x}\Bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}+\frac{n}{1-x}f(0)(1-x)^n+\frac{n}{1-x}f(1)x^n+nf(1)x^{n-1}
On remarque que tous les termes hors des deux \Bigsum_{k=0}^{n} s'annulent entre eux (\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}=\frac{1}{x(1-x)}) :
B_{n}(f)'(x)=\frac{n}{x(1-x)}\Bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)\frac{k}{n}f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}-\frac{n}{1-x}\Bigsum_{k=0}^{n}\(n\\k\)f(\frac{k}{n})x^{k}(1-x)^{n-k}
B_{n}(f)'(x)=\frac{n}{x(1-x)}B_n(f\times\mathrm{id})(x)-\frac{n}{1-x}B_n(f)(x)
où \mathrm{id}\; :\; x\mapsto x
4$\blue\fbox{B_n(f)'(x)=\frac{n}{x(1-x)}\: \left{B_n(f\times\mathrm{id})-\mathrm{id}\times B_n(f)\right}(x)}

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 19-02-06 à 12:13

Merci beaucoup!!
le calcul n'est pas précisé,je dois sachant que f est quelconque et que quelque soit x appartient[0,1],g(x)=xf(x).Montrer que quelque soit x appartenant à [0,1],(Bn(g))(x)=[(x(1-x))/n]*(Bn(f))'(x)+x(Bn(f))(x)
il faut tout d'abord calculer [(x(1-x))/n]*(Bn(f))'(x)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : les sommes... 19-02-06 à 14:38

alaide, cherches-tu vraiment ? Je commence à en douter...

Le résultat que tu dois montrer est exactement celui que je t'ai démontré ci-dessus !!!

3$B_n(f)'(x)=\frac{n}{x(1-x)}\: \left{B_n(f\times\mathrm{id})-\mathrm{id}\times B_n(f)\right}(x)
3$B_n(f)'(x)=\frac{n}{x(1-x)}\: \left{B_n(g)(x)-x.B_n(f)(x)\right}
3$\fbox{B_n(g)(x)=\frac{x(1-x)}{n}B_n(f)'(x)+x.B_n(f)(x)}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : les sommes... 19-02-06 à 15:01

alaide, excuse mon énervement, mais...

a) Si tu avais posté dès le début l'énoncé plus ou moins complet
"le calcul n'est pas précisé,je dois sachant que f est quelconque et que quelque soit x appartient[0,1],g(x)=xf(x).Montrer que quelque soit x appartenant à [0,1],(Bn(g))(x)=[(x(1-x))/n]*(Bn(f))'(x)+x(Bn(f))(x)
il faut tout d'abord calculer [(x(1-x))/n]*(Bn(f))'(x)"
et pas uniquement, comme tu l'as fait :
"calculer (Bn(f))'(x)"
cela m'aurait permis de ne pas perdre de temps à vérifier mes calculs.

b) Je passe plus d'1/2 heure à faire les calculs au brouillon, et à tout taper proprement sous LaTeX. Je te montre que
A=B+2
Puis tu me dis : "merci, mais maintenant comment montre-t-on que B=A-2 ?"
Cela laisse croire (j'espère à tort) que tu ne lis pas vraiment les messages qu'on t'envoie, que tu ne réfléchis pas aux questions posées, et que tu n'attends que des réponses toutes cuites.

J'espère que tu me montreras dans la suite de ce fil que j'ai tort...

Nicolas

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 19-02-06 à 16:22

Je suis vraiment désolée Nicolas_75 de vous avoir énervé!Je ne le souhaitais vraiment pas!!
Je passe du temps derière mes exercices,et je ne vous demande de l'aide que quand j'ai testé toutes les solutions et que je bloque!!Je ne cherche pas juste les réponses,cela ne mène a rien,je refais vos calcules jusqu'a les comprendre parfaitement!
Veuillez croire en la sincèrité de mes propos et m'excuser pour ce petit mal entendu.
Amicalement Alizée  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : les sommes... 19-02-06 à 17:18

Je suis content que cela ne soit qu'un malentendu.
Bon courage pour la suite.

Nicolas

Posté par alaide (invité)re : les sommes... 19-02-06 à 21:52

merci beaucoup!
Et encore désolée!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : les sommes... 20-02-06 à 02:36

C'est plutôt moi qui suis désolé. J'ai dégaîné trop vite, sur la base d'un malentendu.

As-tu compris mes explications ci-dessus ? N'hésite pas à demander un zoom, si nécessaire.

N'hésite également pas à reposter en cas de souci plus loin dans ton DM (dans ce cas, n'oublie pas de donner l'énoncé complet jusqu'à la question qui pose problème + 1 ou 2 questions ensuite + résultats déjà trouvés + pistes essayées).

Nicolas


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