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Les suites
On considere la suite de nbres réels (Un) définie par son premier
terme U = 2 et par la relation U(n+1) = (2U(n) +1)/ (U(n) +2)
Le but de l'exercice est d exprimé U(n) en fonction de n
1) Calculer U1 , U2 , U3
2) On admet qu il existe une suite a(n) unique telle que pour tt entier
naturel n, on a
U(n) = (3a(n) -1)/(3a(n) -2)
a) Montrer que a(0) =1
b) Exprimer U(n+1) en fonction de a(n+1) puis de a(n) et en deduire
que la suite a(n) verifie pour tout entier naturel n, la relation
a(n+1) = 3a(n) - 1
c) Calculer a1, a2, a3
Merci pour votre aide.
Question 1 :
U(1) = U(0+1)
U(1) = (2U(0)+1) / (U(0)+2)
U(1) = (2
2+1) / (2+2)
U(1) = 5/4
De meme :
U(2) = 14/13
U(3) = 41/27
Question 2:
a)
U(n) = (3a(n) -1)/(3a(n) -2)
Pour n = 0 :
U(0) = (3a(0) -1)/(3a(0) -2)
a(0) = [U(0)(3a(0) -2) +1] / 3
a(0) = [2(3a(0) -2) +1] / 3
a(0) = (6a(0) -4 +1) / 3
a(0) = (6a(0) -3) / 3
a(0) = 2a(0) -1
-a(0) = -1
a(0) = 1
b)
U(n+1) = (3a(n+1) -1) / (3a(n+1) -2)
En remplacant par l'expression de départ de U(n+1) et avec des
calculs un peu trop compliqués à écrire sur PC, tu obtient :
U(n+1) = (9a(n) -4) / (9a(n) -5)
Donc on a notre expression en fonction de a(n+1) et en fonction de a(n).
(3a(n+1) -1) / (3a(n+1) -2) = (9a(n) -4) / (9a(n) -5)
(3a(n+1) -1) (9a(n) -5) =(3a(n+1) -2) (9a(n) -4)
-15a(n+1) -9a(n) +5 = -12a(n+1) -18a(n) +8
-15a(n+1) +12a(n+1) = -18a(n) +8 +9a(n) -5
-3a(n+1) = -9a(n) + 3
a(n+1) = 3a(n) -1
c)
a(1) = 3a(0) -1
a(1) = 2
a(2) = 3a(1) -1
a(2) = 5
a(3) = 3a(2) -1
a(3) = 14
sauf erreurs de calcul...
a+
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