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Les suites extraites

Posté par
Milka3 06-03-21 à 09:52

Bonjour,
Je travaille ce jour sur les suites extraites et je dois trouver des exemples de suites vérifiant :
a) la suite n'est ni majorée, ni minorée.
b) la suite est minorée et ne tend pas vers +\infty.
c) la suite est positive, ne tend pas vers 0, sans être décroissante.

Correction succincte proposée :

Citation :
a) u_n=(-1)^n\times n car les suites extraites pairs et impairs divergent respectivement vers +\infty et -\infty, donc u_n n'est ni majorée, ni majorée.

Ma question : je ne vois pas quel est le résultat utilisé.
-> Est-ce la contraposée de : si une suite u est bornée alors ses suites extraites sont bornées ?
-> Est-ce la contraposée de BW : de toutes suite bornée on peut extraire une sous-suite qui converge ?
-> Est-ce que je fais fausse route ?

Citation :
b) u_n=((1+(-1)^n)\times n) car :
- elle est clairement positive (OK)
- la suite extraite pair diverge vers +\infty
- la suite extraite impair converge vers 0

Ma question : Là aussi, je ne vois pas quel est le résultat utilisée


Citation :
c) u_n=(\frac{(1+(-1)^n}{n}) car :
- cette suite tend vers 0 (OK)
- la suite extraite impair est nulle
- la suite extraite pair est strictement positif

Ma question : Et là aussi, je patauge. J'ai pensé au résultat qui dit que les suites extraites monotones sont elles-mêmes monotones. Mais sans m'en convaincre.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 06-03-21 à 10:10

Bonjour,
Je pense que l'énoncé est incomplet, car la réponse à c) est beaucoup trop compliquée.
un = n+1 est un exemple évident de suite positive non décroissante qui ne tend pas vers 0.

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 06-03-21 à 10:39

Oups, il y a deux erreurs en effet !
Dans le b) : minorée, non majorée, qui ne tend pas vers +\infty.
Dans le c) : une suite positive qui tend vers 0 sans être décroissante.

Désolé ! Je ne sais pas modifier mon message initial.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 06-03-21 à 11:34

Pour c) :
Inutile de parler de suite extraite.
Déjà, j'aurais mis un 2 au lieu du 1 dans la suite : v_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n}
Elle a aussi pour limite 0, en étant strictement positive.

v1 = 1 \; et v2 = 3/2.
Elle n'est donc pas décroissante. Mieux :
Pour tout k entier naturel non nul, on a
v2k-1 = 1/(2k-1) , \; v2k = 3/2k \; .
v2k - v2k-1 > 0 .
La suite (vn) n'est donc pas décroissante à partir d'un certain rang.

De même avec la suite donnée dans le corrigé.

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 06-03-21 à 21:44

Bonsoir Sylvieg,
merci pour votre réponse !
Pouvez-vous m'aider sur la a) car je ne saisi pas le raisonnement !
En quoi la divergence des suites pairs et impairs permet de conclure à la non majoration/minoration de la suite u ?
Quel est le théorème/la propriété utilisée ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 06-03-21 à 22:05

Pour le a),
Une suite de limite + n'est pas majorée.
Car si une suite (wn) a pour limite +, alors pour tout M réel on peut trouver un rang n0 à partir duquel on a wn > M.
De même une suite de limite - n'est pas minorée.

Si une suite extraite de (un) n'est pas majorée alors la suite (un) ne l'est pas non plus.
Idem avec non minorée.
Vois-tu d'où ça vient ?

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 06:20

Sylvieg @ 06-03-2021 à 22:05

Si une suite extraite de (un) n'est pas majorée alors la suite (un) ne l'est pas non plus.
Idem avec non minorée.
Vois-tu d'où ça vient ?

C'est le résultat que je cherche à comprendre

Dans mon message initial j'avais écrit qte j'hésitais entre :
La contraposée de : si une suite u est bornée alors ses suites extraites sont bornées.
La contraposée de BW : de toutes suite bornée on peut extraire une sous-suite qui converge.

Je me trompe peut être, parce que je n'arrive pas à me convaincre !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 07-03-21 à 08:37

Bonjour,
Voici comment utiliser une contraposée pour cette propriété :
Si une suite extraite de (un) n'est pas majorée alors la suite (un) ne l'est pas non plus.
Contraposée :
Si une suite est majorée alors toute suite extraite est majorée.

Vois-tu le pourquoi de cette contraposée ?

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 09:28

Je vais essayer de le comprendre
Si la suite (u_n) est majorée alors il existe un réel M tel que :

\forall n\in\mathbb{N}\,,\mid u_n\mid\le M.

Je considère une suite extraite (u_{\varphi(k)}) de la suite (u_n) où l'application \varphi est une application de \mathbb{N} dans \mathbb{N}. On a donc pour tout k, \varphi(k)\in\mathbb{N} et donc  \mid u_{\varphi(k)}\mid\le M.

La suite extraite est donc majorée.

Cela me paraît laborieux comme démonstration, mais je crois que ça fonctionne !

Citation :

1. Toute suite extraite d'une suite majorée est majorée
2. Toute suite extraite d'une suite minorée est minorée
3. Toute suite extraite d'une suite bornée est bornée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 07-03-21 à 09:45

C'est tout à fait ça

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 11:05

Ok !
J'en déduis donc que, s'il existe une suite extraite non majorée (resp. non minorée), alors la suite elle même est non majorée (resp. non minorée).

Pour le a), on a alors :
La suite u_n=(-1)^n\times n
La suite extraite u_{2k}=2k

La suite extraite (u_{2k}) diverge vers +\infty et n'est donc pas majorée. Cela impose que la suite (u_n) n'est pas majorée.

De même pour la minoration.
Est-ce cela ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 07-03-21 à 11:16

Oui.
Si on impose d'utiliser des suites extraites.
Sinon, démontrer directement que la suite définie par \; u_n=(-1)^n\times n \; n'est ni majorée ni minorée n'est pas difficile.

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 11:30

Comment le faire ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 07-03-21 à 11:32

Je répondrai cet après midi. A moins qu'un autre îlien intervienne d'ici là.

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 11:41

Ok !
Merci

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 12:01

Je me demandais aussi pourquoi peut-on affirmer le fait suivante :

si une suite extraite converge vers 0 alors la suite ne peut diverger vers +\infty ?

Posté par
carpediemre : Les suites extraites 07-03-21 à 12:36

salut

revenir à la définition de la proposition "la suite (u_n) diverge vers +oo" ....

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 14:47

C'est-à-dire ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 07-03-21 à 17:20

Je reviens sur la suite \; (un) \; définie par \; u_n=(-1)^n\times n .

Pour démontrer qu'elle n'est pas majorée :
Pour tout réel \; M , il existe un entier naturel \; k \; supérieur à \; M .
A quoi est égal \; u2k \; ?

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 23:07

Je crois que je viens de comprendre. On utilise le résultat suivant :

Citation :
Si (u_n) est une suite qui diverge vers +\infty alors les suites extraites de celle-ci diverge aussi vers +\infty


Par contraposée, s'il existe une suite extraite qui ne diverge pas vers +\infty, alors la suite diverge pas vers +\infty.

En particulier, dans mon cas :
La suite : u_n=((1+(-1)^n)\times n)
La suite extraite : u_{2k+1}=0

Il existe une suite extraite qui ne diverge pas vers +\infty, la suite elle même ne diverge donc pas vers +\infty.

Ce raisonnement est-il bon ?

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 07-03-21 à 23:14

Sylvieg @ 07-03-2021 à 17:20

Je reviens sur la suite \; (un) \; définie par  \; u_n=(-1)^n\times n .

Pour démontrer qu'elle n'est pas majorée :
Pour tout réel \; M , il existe un entier naturel \; k \; supérieur à \; M .
A quoi est égal \; u2k \; ?


Pour répondre à cette question, je fais le calcul :
u_{2k}=(-1)^{2k}\times 2k=2k.

On suppose par l'absurde que la suite (u_n) est majorée et que M est un majorant de cette suite.
La suite extraite serait également majorée par M.

Or, \mathbb{R} étant archimédien :

\large\forall x>0\,,\forall y\in\mathbb{R}\,,\exists n\in\mathbb{N}\,,nx\ge y

En appliquant ceci avec x=1>0 et y=M\in\mathbb{R}, on obtient l'existence d'un entier k\in\mathbb{N} tel que k\ge M.

Par conséquent, u_{2k}=2k\ge 2M.

La suite extraite n'est donc pas majorée par M.

Est-ce correct ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 08-03-21 à 07:55

C'est bon, sauf qu'il faudrait une inégalité stricte à la fin.
Donc, soit prendre y = M+1, soit utiliser u2(k+1).

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 08-03-21 à 21:03

Je vois, merci !
C'est le genre de résultat que je ne connais pas spontanément, mais qui peut être bien utile !

Que pensez-vous du début de mon intervention Les suites extraites ?

J'observe, par résultat du cours, qu'une suite qui diverge vers l'infini a ses sous-suites qui diverge aussi vers l'infini.
Par contraposition, si l'on exhibe une sous-suite non divergente vers l'infini, alors la suite elle-même est non divergente vers l'infini.

Ce raisonnement est-il bon ?

Posté par
carpediemre : Les suites extraites 09-03-21 à 08:34

oui ...

c'est là l'importance des quantificateurs !!

Posté par
Milka3re : Les suites extraites 09-03-21 à 15:54

Merci !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Les suites extraites 09-03-21 à 17:21

De rien, et à une autre fois sur l'île \;


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