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les transformation de fourier

Posté par adeline85 (invité) 22-11-06 à 23:52

bonjour, voila un petit exercice sur le quel j'ai beau passer pas mal de temps ,je bloque:
soit a dans R et b>0
montrer que si g(x) = (1/(4b)^0.5))*e[sup]-(x-a)^2/4b[/sup]

(je suis vraiment désolée mais je n'arrive pas a l'ecrire comme il faut )
alors la transformation de fourier de cette fonction est

G(z) = e-iaz-bz²

je sais que je dois utiliser le fait que
f(x)= 1/(2)^0.5) *e-0.5x²  alors sa transformation de fourier est

F(z)= e-0.5z²

j'espere que vous pourez me lire quend meme
merci par avance
Adeline

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 22-11-06 à 23:59

Bonsoir adeline85

Est-ce \Large{g(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi b}}e^{-\frac{(x-a)^{2}}{4b}}} ?

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)re : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:01

exactement !!!
je ne sais pas comment tu as fais , mais je dois avouer me perdre totalemnt des que je commence a metre des crochet au milieu
merci beaucoup!
Adeline

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:06

En fait, j'ai utilisé \LaTeX.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?



Sinon, pour calculer la transformée de Fourier, utilise un changement de variable pour faire disparaître le a et le b.

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)re : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:09

merci pour le mode d'emploi!! je vais tanter de le comprendre et de l'utiliser!
mais sinon pour le changement de variable ...j'ai bien essayer 3 ou 4 different mais a chaque fois a la fin ca ne marche pas ...

Adeline

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:11

Quels changement de variable as-tu utilisé ?

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)re : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:24

j'ai fait avec y=x/(2b)^0.5
mais a un momentr ca bloque

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:26

Alors, c'est presque ça : il faut se débarasser du a qui est dans l'exponentielle en premier.
As-tu une idée de comment on pourrait faire ça ?

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)re : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:32

peut etre y= (x-a)/(2b)^0.5
mais ca me parait encore plsu compliqué...

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:37

Pourtant c'est ça !
Effectue ce changement de variable et tu verras que ça simplifie.

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)re : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:39

ok merci ,je vais retanter mais peut etre pas ce soir ...je suis un peu HS
je te dirais demain si ca a marché ou pas

merci en tout cas !
bonne nuit
Adeline

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 23-11-06 à 00:42

Mais je t'en prie !
Bonne nuit à toi aussi !

P.S :

Citation :
je vais retanter mais peut etre pas ce soir


retenter plutôt, non ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : les transformation de fourier 23-11-06 à 07:18



Ca dépend, si Adeline vient d'avoir un neveu ou une nièce, c'est bien retanter!

Bonjour à vous deux!

Posté par adeline85 (invité)re : les transformation de fourier 23-11-06 à 15:47

bonjour!
je suis peut eter un peu bebette mais en fait je n'y arrive pas ....enfait je crois que c'est le fait de faire un changement de variable puis utiliser la seconde formule:

citation:
je sais que je dois utiliser le fait que
f(x)= 1/(2)^0.5) *e-0.5x²  alors sa transformation de fourier est

F(z)= e-0.5z²
par ce que dans la transformation de fourier de cette fionction x n'apparais plus du coup je peux faire tous les changement de variable que je veux ca marchera qunad meme?
merci encore
Adeline

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 23-11-06 à 21:20

Bonsoir Adeline et Tigweg

Tigweg>
Adeline>
Par définition de la tranformée de Fourier, on a

\Large{G(z)=\frac{1}{\sqrt{4\pi b}} \bigint_{-\infty}^{+\infty}\exp(ixz)\exp\(-\frac{(x-a)^{2}}{4b}\)dx}


Effectuons le changement de variable \Large{y=\frac{x-a}{\sqrt{2b}}}.
Alors on a

\Large{x=\sqrt{2b}y+a} et \Large{dx=\sqrt{2b}dy}

On obtient alors :

\Large{G(z)=\frac{1}{\sqrt{4\pi b}} \bigint_{-\infty}^{+\infty}\exp(i(\sqrt{2b}y+a)z)\exp\(-\frac{y^{2}}{2}\)\sqrt{2b}dy}

En simplifiant l'expression, on a finalement :

\Large{G(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bigint_{-\infty}^{+\infty}\exp(i(\sqrt{2b}y+a)z)\exp\(-\frac{y^{2}}{2}\)dy=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(iaz) \bigint_{-\infty}^{+\infty}\exp(i(\sqrt{2b}y)z)\exp\(-\frac{y^{2}}{2}\)dy}

À ce moment, tu dois reconnaître (à un facteur près), la transformée de Fourier de f évaluée en un certain point.

Kaiser

Posté par adeline85 (invité)re : les transformation de fourier 24-11-06 à 11:29

geniql cq mqrche!!!!
merci beaucoup !! au fait juste une petite remarque selon mon cours la defenition de la transforme de Fourier c'est F(z)= (int) f(x)exp(-ixz)
(en fait c'est juste le - qui manque )


merci encore!
Adeline

Posté par
kaiser Moderateurre : les transformation de fourier 24-11-06 à 14:42

Mais je t'en prie !

En ce qui concerne la définition de la transformée de Fourier, elle change un peu selon les personnes.
Parfois, il y a le signe moins dans l'exponentielle, parfois non.
Parfois, il y a un facteur devant l'intégrale, parfois non.

Kaiser


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