lim(x-> +oo) [x^2(exp(1/X) - 1 - (1/X))]

Poser x = 1/t

lim(x-> +oo) [x^2(exp(1/X) - 1 - (1/X))] = lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²]

Est de la forme 0/0 --> utilisation de la règle de Lhospital.

lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1)/(2t)]

Est de la forme 0/0 --> utilisation de la règle de Lhospital.

lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1)/(2t)] = lim(t-> 0+) [(exp(t)/2] = 1/2

On a donc: lim(X -> +oo) [x^2(exp(1/X) - 1 - (1/X))] = 1/2
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Si tu n'as pas appris la règle de Lhospital, tu ne peux pas l'utiliser, il te reste alors à trouver une autre méthode, mais au moins tu sais ce que tu dois trouver.

Si tu as appris les développements limités, c'est immédiat, à partir de:

lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²]

DL de exp(t) = 1 + t + t²/2

-->  lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [1 + t + t²/2 - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [((t²/2)/t²] = 1/2
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Sauf distraction  

Que dire si ce n est merci pour m avoir éclairé aussi rapidement!!
En fait, je n ai pas appris la règle de Lhospital, mais j ai le droit d utiliser le développememnt limité. Le droit, car je prépare un concours administratif et le prog de maths est bien délimité.

Alors revenons au dvpt limité:

Voila ce que j'ai fait suivant tes conseils avisés:
En posant x=1/t
lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²]
DL de exp(t) = 1 + t + t²/2

--> lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [1 + t + t²/2 - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [((t²/2)/t²] = 1/2

Le problème est que je trouve une limite en 0+ et non pas en + l infini et en - l infini comme je le cherche. Comment faire pour y parvenir à partir du dvpt limité effectué?
D avance merci
David

bonjour

ton DL est bon avec t=1/x tendant vers 0

tu devrais trouver :

f(t) = 1/2 + (1/6)t + (1/24)t² + (1/120)t^3 + O(t^4) pour t->0

je pense, mais n'en suis pas sûr, que tu peux écrire :

f(x) = 1/2 + 1/(x.3!) + 1/(x².4!) + 1/(x^3.5!) + O(1/x^4) pour x->+oo

?

Philoux

Salut Philoux, je n ai pas compris comment tu as fait....
Je reprend brièvement
Au début j ai f(x)=x^2(exp(1/X) - 1 - (1/X)) donc je recherche les limites en + et - l infini.
Donc je pose t=1/x
J obtiens en faisant un dvpt de ma nouvelle forme de f(x)
lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [1 + t + t²/2 - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [((t²/2)/t²] = 1/2
Le problème est que je fais ce dvpt limité avec t->0+ et non + ou - l inifini. Ce sont ces limites là que je recherche. Puis je faire le dvpt limité en posant
t->+ infini ?

non

comme tu as posé t=1/x

le comportement de f pour x->+oo est le même que pour t->O+

comme tu sais faire un DL pour t->0+, cette valeur/expression est égale à celle pour x->+oo en remplaçant t par 1/x

mon doute est celui-ci, qu'un vrai prof pourrait infirmer/confirmer :

je pense, mais n'en suis pas sûr, que tu peux écrire :

f(x) = 1/2 + 1/(x.3!) + 1/(x².4!) + 1/(x^3.5!) + O(1/x^4) pour x->+oo

Attendons qu'un GM veuille bien nous répondre car j'ai atteint, sur ce sujet, mon point de Peter

Philoux

En fait, j ai procédé de la sorte:

Au début j ai:
f(x)=x^2(exp(1/X) - 1 - (1/X))

posons t=1/x

si x->+ infini alors t ->0+.

Je fais un dvpt limité:
lim(t-> 0+) [(exp(t) - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [1 + t + t²/2 - 1 - t)/t²] = lim(t-> 0+) [((t²/2)/t²] = 1/2
d'où f(x) tend vers 1/2 quand x tend vers + infini

Je fais idem pour x vers - infini

Qu en penses tu?
Ca m a l air suffisant et bon?

en fait, le changement t=1/x convient pour x->+oo ou x->-oo

les 2 courbes rouge et bleu devraient te convaincre

Philoux

Salut à tous, j aurais beson d une petite mise au point pour la resolution d une question du type qui suite:

on a f(x)=  x^2 ( e(1/x) - 1 - (1/x) )
     et f(0)=0
A l aide d un dvpt limité, j ai trouvé les limites de f en + et - l infini : 1/2

A présent je souhaite etudier la continuité  et la dérivabilité de f en 0.
Comment dois je procéder?  La queston peut vous paraitre béta mais j ai 33 ans et je reprends les maths dans l optique de passer un concours admin.
Je progresse doucement mais je cherche surtout à appliquer la bonne méthode.

J'ai déja calculé la dérivée de f: f'(x)= (2x+1) (e (1/x)-1)

Merci d avance


*** message déplacé ***

Bonjour,

Pour étudier la dérivabilité de f en 0, étudie l'existence de la limite du rapport   

Nicoco

*** message déplacé ***

ensuite si ta fonction est dérivable en 0 elle sera continue en 0 forcément.

*** message déplacé ***

re

pour limite en 0

f(x)= x^2 ( e(1/x) - 1 - (1/x) )=e(1/x)/(1/x)² -x²-x

comme e^(u)/u^n ->+oo qd u->+oo limf=+oo qd x->0+

pour x->0- x²e(1/x)-x²-x -> 0

Philoux

*** message déplacé ***

Je ne comprend pas cela: e(1/x)/(1/x)² et e^(u)/u^n
, 1/x^2 n est pas de la forme u^n   ?
Peux tu eclairer ma lanterne?

*** message déplacé ***

si tu pose u=1/x, tu as bien e(u)/u² de la forme e(u)/u^n

si u->+oo e(u)/u²->+oo

Philoux

*** message déplacé ***

Merci.
J ai enfin compris. Que viens t on de prouver . Que f était continue en 0? Comment etudier maintenant sa dérivabilité?

*** message déplacé ***

J ai étudié la dérivabilité de f en 0, en cherchant l'existence de la limite du rapport (fx) - f(0) / x - 0

ce qui nous donne f(x) / x puisque on sait que f(0) =0

J ai trouvé lim  f(x) / x quand x->0  = -1

Est  ce correct?

*** message déplacé ***

ça semble bon...

Philoux



*** message déplacé ***

ce que je ne comprends pas, c est que la définition de la continuité est la suivante:

une fonction f, définie au voisinage de a, est dite continue en a si lim x->a f(x) = f(a)

Or ici lim x->0 f(x) = + infini, alors qu on sait d après l enoncé que f(o) = o . f(x) n est donc pas continue en 0 ?

*** message déplacé ***

Non, si tu regardes le message de 17:00 de Philoux, la limite de f en 0 est 0

Nicoco

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Oups. Sorry. Je rechausse mes lunettes et je me remets au boulot...

*** message déplacé ***