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Lieux de points dans le plan complexe

Posté par
kokoworld55 08-10-10 à 17:40

Bonjour!
Alors voila, je viens de commencer les nombres complexes, et je coince sur un exercice que voici :

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé direct (O ; ; ).
On désigne par A le point d'affixe 4+i et par B le point d'affixe -3i.
La fonction f est définie pour tout complexe z différent de 4+i par f(z) = \frac{z+3i}{z-4-i}.
A tout point M d'affixe z du plan, M étant distinct de A, on associe le point M' dont l'affixe z' est définie par z'=f(z)
     1/Placer les points A et B
Pour cette question, j'ai trouvé A(4;1) et B(0;-3) et je les ai ensuite placés sur mon repère
     2/Résoudre dans l'équation f(z)= -1
J'ai trouvé z=2-i (mais je ne suis vraiment pas sur du résultat). Et à partir des questions suivante, je suis bloquée
     3/Résoudre dans l'équation f(z)=1+i
     4/Soit un omplexe z, tel que z\neq4+i, avec z=x+iy où x et y sont réels.
          On note z'=f(z)=x'+iy'. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z'
     5/Déterminer l'ensemble E des points M(z) du plan tels que f(z) soit réel. Tracer E.
     6/Déterminer l'ensemble F des points M(z) du plan tels que f(z) soit un imaginaire pur. Tracer F.

Voilà! En espérant que quelqu'un pourra m'aider!
Merci d'avance

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 17:56

Bonsoir,
OK pour z=2-i

3)f(z)=1+i=\fr{z+3i}{z-4-i}
même principe
(1+i)(z-4-i)=z+3i
tu développes et tu résous

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 17:57

3)f(z)=1+i=\fr{z+3i}{z-4-i}

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:00

Ok, donc la je trouve z = -8i+1

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:08

je ne trouve pas comme toi...

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:12

J'avais fait une erreur de calcul, maintenant j'obtiens -8i+3

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:30


3)f(z)=1+i=\fr{z+3i}{z-4-i} \\ (1+i)(z-4-i)=z-4-i+iz-4i+1=z+3i \\ -3-5i-3i+iz \\ z=\fr{3+8i}{i}=-3i+8

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:39

A oui, j'ai trouvé mon erreur.

Pour la suite, je ne vois toujours pas comment y répondre

Posté par
edualcre : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:41

bonsoir,

remplace z par x + i y puis élimine les i du dénominateur

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:48

donc sa donne

\frac{x+iy+3i}{x+iy-4-i}.

Pour éliminer les i du dénominateur, j'utilise bien la conjuguée de x+iy-4-i??
Et sa conjuguée c'est bien x-iy+4+i??

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 18:58


f(z)=\fr{x+i(y+3)}{(x-4)+i(y-1)}=\fr{(x+i(y+3))((x-4)-i(y-1))}{(x-4)^2+(y-1)^2} \\
tu développes le numérateur

Posté par
mdr_nonre : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 19:00

bonsoir

remplacer z par x + iy (je trouve ça bien long...), on peut travailler méthodiquement, (on multiplie par le conjugué du dénominateur soit:

4$ \rm \frac{z + 3i}{z - 4 - i} = \frac{(z + 3i)\bar{(z - 4 - i)}}{(z - 4 - i)\bar{(z - 4 - i)}}

On simplifie, (tu sais que le conjugué d'une somme EST la somme des conjugués:

4$ \rm \frac{(z + 3i)\bar{(z - 4 - i)}}{(z - 4 - i)\bar{(z - 4 - i)}} = \frac{(z + 3i)(\bar{z} - 4 + i)}{(z - 4 - i)(\bar{z} - 4 + i)}

Maintenant on va développer, (toujours en laissant avec des z) "ce n'est que lorsque tu ne pourras plus simplifier, que tu remplacera z et son conjugué par leur AFFIXE...

4$ \rm \frac{(z + 3i)(\bar{z} - 4 + i)}{(z - 4 - i)(\bar{z} - 4 + i)} \\ \\ Le numerateur: (z + 3i)(\bar{z} - 4 + i) = z.\bar{z} + ...... continue \\ \\ Le denominateur: (z - 4 - i)(\bar{z} - 4 + i) = z.\bar{z} + ...... continue

dernière remarque:

3$ \blue \rm \bar{x + iy - 4 - i} = x - iy - 4 + i

C'est le signe du i qui change, et pas autre choses..

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 19:04

bonjour mdr_non

Posté par
mdr_nonre : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 19:06

bonsoir Labo ^^..

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 20:16

Je suis complètement coincée, je n'arrive absolument pas à résoudre l'équation pour la question 4

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 20:33


f(z)=\fr{x+i(y+3)}{(x-4)+i(y-1)}=\fr{(x+i(y+3))((x-4)-i(y-1))}{(x-4)^2+(y-1)^2} \\
tu développes le numérateur
sinon tu utilises la méthode donnée par mdr_non

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 20:39

Mais je comprends pas comment vous passer de (x-4)+i(y-1) à (x-4)²+(y-1)²

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 20:47

pour le dénominateur tu as trouvé:

x+iy-4-i comme tu veux rendre réel le dénominateur tu multiplie par le conjugué
donc
tu commences par déterminer la partie réelle et la partie imaginaire
partie réelle x-4
partie imaginaire (y-1)
(x-4)+i(y-1)
conjugué
(x-4)-i(y-1)
d'où le dénominateur
[(x-4)+i(y-1)][(x-4)-i(y-1)]=
(x-4)^2+(y-1)^2

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 21:03

Je crois que je me suis trompée, J'obtiens :

\frac{x²-3x-3iy+y²+3ix-9i+3y}{x²+y²-8x-2y+17}
=\frac{x²+y²+3(-x-iy+ix-3i+y}{x²+y²-8x-2y+17}

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 21:06

\frac{x^2-3x-3iy+y^2+3ix-9i+3y}{x^2+y^2-8x-2y+17}

=\frac{x^2+y^2+3(-x-iy+ix-3i+y}{x^2+y^2-8x-2y+17}

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 21:17

tu n'es pas obligé de développer le dénominateur.
développement du numérateur:
en commençant par les produits qui donnent la partie réelle puis ceux qui donnent la partie imaginaire

[x+i(y+3)][(x-4)-i(y-1)]= \\ x(x-4)+(y+3)(y-1)+i[x(y-1)+(x-4)(y+3)]= \\ (x^2-4x+y^2-y+3y-3+i(xy-x+xy+3x-4y-12) \\ x^2-4x+y^2+2y-3+i(2xy+2x-4y-12)

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 22:37


finalement
x'=\fr{x^2-4x+y^2+3y-3}{(x-4)^2+(y-1)^2} \\ y'=\fr{2xy+2x-4y-12}{(x-4)^2+(y-1)^2} \\

Citation :
  5/Déterminer l'ensemble E des points M(z) du plan tels que f(z) soit réel. Tracer E.

f(z)=z'=x'+iy' réel si y'=0
si 2xy+2x-4y-12=0
2y(x-2)=2(-x+6)
y=\fr{-x+6}{x-2}
soit un hyperbole

     6/Déterminer l'ensemble F des points M(z) du plan tels que f(z) soit un imaginaire pur. Tracer F.
deux méthodes
f(z)=\fr{z_M-z_B}{z_M-Z_A}=ki (imaginaire pur)
arg(z')=\fr{\pi}{2}
\widehat{\vec{AM},\vec{BM}}=\fr{\pi}{2}(2\pi)
M est sur le cercle de diamètre [AB] , le point A exclu,
seconde méthode
z' est un imaginaire pur si x'=0
x^2-4x+y^2+2y-3=0 \\ (x-2)^2+(y+1)^2-4-1-3=0 \\ (x-2)^2+(y+1)^2=8
cercle de centre (2+i)et de rayon 2\sqrt{2}

Lieux de points dans le plan complexe

Posté par
Labore : Lieux de points dans le plan complexe 08-10-10 à 23:13

attention j'ai fait une erreur...
autre méthode  pour E
arg(z')=0 [π]
\vec{AM}et \vec{BM}
colinéaires ==> E =(AB) privé A
je refais le calcul erreur de signe pour la partie imaginaire
[x+i(y+3)][(x-4)-i(y-1)]
Y'=-x(y-1)+(y+3)(x-4)=-xy+x+xy+3x-12-4y=4x-4y-12
équation de la droite y=x-3

Lieux de points dans le plan complexe

Lieux de points dans le plan complexe

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 09-10-10 à 11:44

Je viens de reprendre l'exercice et j'ai un petit souci pour la question 6.
J'ai préféré utiliser la méthode ou z' est un imaginaire pur si x' = 0 .
Je suis arrivée facilement à (x-2)^2+(y-1)^2=8
J'ai ensuite tout mis sous la racine et j'obtiens donc (x-2)+(y+1)=2\sqrt{2}
Ce qui donne alors x+y-1=2\sqrt{2}
Et je ne comprend pas comment vous en déduisez que le cercle est de centre 2+i d'après cette expression

Posté par
mdr_nonre : Lieux de points dans le plan complexe 09-10-10 à 11:59

:/ ... (4² + 3²) (4²) + (3²)

c'est bien connu...

Tu dois être capable (tu es quand même en TERMINAL) de RECONNAITRE deux ensembles de points:

- les droites: ax + by + c = 0
- les cercles: (x - a)² + (y - b)² = R²
avec R: le rayon    ;   (a ; b) : le centre du cercle ...

Alors avec ce rappel:

tu es déduis quoi sur : (x - 2)² + (y + 1)² = 8   ??

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 09-10-10 à 12:08

Que l'ensemble de points est un cercle de rayon R=\srqt{8}=2\srqt{2} et de centre (-2;1)

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 09-10-10 à 12:09

R=2\sqrt{2}
(-2;1)

Posté par
mdr_nonre : Lieux de points dans le plan complexe 09-10-10 à 14:56

non...

lis ce que j'ai écris.. moi j'ai écris le centre d'un cercle où il n'apparaissait que des signes (-)

les cercles: (x - a)² + (y - b)² = R²
avec R: le rayon    ;   (a ; b) : le centre du cercle ... (je n'ai pas écris que le centre étais (-a ; b)  où je ne sais quel autre truc bizarre....)

ici (x - 2)² + (y + 1)² = 8

ça ne ressemble pas à une équation de cercle, transforme là déjà et on déduiras le centre..

Posté par
kokoworld55re : Lieux de points dans le plan complexe 10-10-10 à 11:19

Alors, si je reprend ce que m'a dit Labo un peu plus haut, on obtiens un cercle de centre (2+i), donc sa signifie que les coordonées du centre de ce cercle seront (2;1). On doit donc arriver à (x-2)2+(y-1)2=\sqrt8??

Posté par
mdr_nonre : Lieux de points dans le plan complexe 10-10-10 à 13:34

non...... Labo t'as mis un dessin EN +++ t'aurais pu lire les coordonnées du centre si tu ne comprends pas ce que j'ai écris plus haut .. :/

4$ \rm Z = \frac{(z + 3i)(\bar{z} - 4 + i)}{(z - 4 - i)(\bar{z} - 4 + i)}

4$ \blue \rm Z = \frac{x^2 - 4x + y^2 + 2y - 3}{(x - 4)^2 + (y - 1)^2} + i\frac{-4y + 4x - 12}{(x - 4)^2 + (y - 1)^2} \\ X = x^2 - 4x + y^2 + 2y - 3 \, \, \, Y = -4y + 4x - 12

Z est imaginaire pur X = 0 x² - 4x + y² + 2y - 3 = 0
(x - 2)² - 4 + (y + 1)² - 1 - 3 = 0      (x - 2)² + (y + 1)² = 8

(x - 2$ \red 2)² + (y - 2$ \red (-1))² = 8
On reconnait l'équation d'un cercle: (x - 2$ \red a)² + (y - 2$ \red b)² = R²
de centre (2$ \red a ; 2$ \red b) et de rayon R.

Ici le centre est (2 ; -1) et le rayon R = 22

:/... et tu sais comment arriver à l'équation de cercle ?

Posté par
mdr_nonre : Lieux de points dans le plan complexe 10-10-10 à 13:36

l'affixe du centre du cercle est (z = 2 - i)


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