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Niveau Maths sup
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lim inf et lim sup

Posté par
romu 29-05-07 à 11:51

Bonjour,
voilà mon problème:

Montrer que pour toute suite (a_n)_{n \in \mathbb{N}}, on a \liminf_n a_n \leq \limsup_n a_n.

Pour la résolution, j 'aimerai savoir si il n'y a pas une erreur de raisonnement.

On pose, pour tout n\in \mathbb{N}, b_n = \sup_{k \geq n} a_k et c_n = \inf_{k \geq n} a_k.
On a donc

\liminf_n a_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} c_n,

\limsup_n a_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} b_n.


La suite (b_n)_n est décroissante et minorée dans \mathbb{R}\cup\{-\infty}.
La suite (c_n)_n est croissante et majorée dans \mathbb{R}\cup\{+\infty}.

Donc (b_n)_n et (c_n)_n sont convergentes dans \overline{\mathbb{R}}, et
\lim_{n \rightarrow +\infty} b_n = \inf_{n \in \mathbb{N}} b_n, \lim_{n \rightarrow +\infty} c_n = \sup_{n \in \mathbb{N}} c_n.

Soit n \in \mathbb{N}. On a \inf_{k \geq n} a_k \leq \sup_{k \geq n} a_k, autrement dit c_n \leq b_n.

Par passage à la limite, on en déduit que \lim_{n \rightarrow +\infty} c_n \leq \lim_{n \rightarrow +\infty} b_n, d'où \liminf_n a_n \leq \limsup_n b_n.


Merci pour votre aide

Posté par
Camélia Correcteurre : lim inf et lim sup 29-05-07 à 15:58

Bonjour romu
Rien à dire, c'est OK.
Bien sur, l'argument essentiel est cnbn, que j'aurais mis en premier pour une très bonne rédaction. (C'est ce que j'appelle "rien à dire" )

Posté par
romure : lim inf et lim sup 30-05-07 à 10:56

Bonjour Camélia,
ok merci.

J'ai autre exo sur les limsup où je ne suis pas trop à l aise:

Calculer \liminf f_n pour f_n = \mathbb{1}_{[n,+\infty]}.

Alors pour la résolution:

Soit x un réel, et k le plus petit entier > x.
Pour tout entier naturel n>k, f_n(x) = 0,

donc \limsup_n f_n(x) = \liminf_n f_n(x) = \lim_n f_n(x) = 0.

Posté par
Camélia Correcteurre : lim inf et lim sup 30-05-07 à 14:12

Bonjour romu

C'est OK!

Posté par
romure : lim inf et lim sup 30-05-07 à 14:34

merci


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