Niveau Licence Maths 1e ann

lim sup

Posté par
piii 01-02-12 à 03:45

salut
svp comment mq:
[ $:lim_{n\to\infty}sup(a_n+b_n)\le lim_{n\to\infty}sup(a_n)+lim_{n\to\infty}sup(b_n)$

Posté par re : lim sup 01-02-12 à 08:10

bonjour
peut etre en disant que lim sup(an)=sup lim an et en appelant a et b les limites de an et bn ?

Posté par re : lim sup 01-02-12 à 10:03

bonjour

c'est quoi la définition que tu as d'une limite supérieure d'une suite ?

Posté par re : lim sup 01-02-12 à 12:51

Il faut déjà que $(a_n),(b_n)$ soient bornée...
Ensuite, le mieux est de poser $\alpha_n=\sup\{a_k|k\geq n\}$ , $\beta_n=\sup\{b_k|k\geq n\}$ et $\gamma_n=\sup\{a_k+b_k|k\geq n\}$ . Clairement:
$a_j\leq \alpha_n$ et $b_j\leq \beta_n,\forall j\geq n$ . Donc $a_j+b_j\leq \alpha_n+\beta_n,\forall j\geq n$ , et donc $\gamma_n\leq\alpha_n+\beta_n,\forall n$ . Puisque $(a_n),(b_n)$ sont bornée, $(\alpha_n),(\beta_n),(\gamma_n)$ sont minorées et décroissantes, donc convergentes...
Ainsi, $\lim_{n\to\infty}\gamma_n\leq \lim_{n\to\infty}\alpha_n+\beta_n=\lim_{n\to\infty}\alpha_n+\lim_{n\to\infty}\beta_n$ .
La relation s'en déduit...

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