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lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn

Posté par
Rexe 17-11-20 à 20:22

Bonjour s'il vous plait un pas ici
Étudier la convergence de deux suites réelles (Un) et (Vn) vérifiant

lim U_{n} + V_{n} = 0 , lime^{U_{n}} + e^{V_{n}} = 2

Je ne sais pas vraiment de où commencer , j'ai essayé de chercher la limite directement comme si c'était de montrer la convergence non l'étudier mais en vain .

Posté par
carpediemre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 20:27

salut

on peut déjà montrer que si l'une converge (vers un réel) alors l'autre aussi (vers un autre réel) à déterminer ...

ensuite on peut ensuite regarder ce qui se passe si l'une diverge vers l'infini ...

Posté par
Rexere : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 20:50

alors on a

U_{n} = V_{n} +U_{n} -V(n)


donc si Vn converge vers l , Un converge vers -l
et due à l'autre limite l = 0 (bon sans entrer dans les calcules )

Si Vn  diverge vers l'infini l'autre , si elle admet une limite ,  les deux suites convergent vers -


mais qu'est ce qui passe si une tends vers l'infini et l'autre n'a pas de limite , ou bien les deux n'admet pas de limites

Et d'abord , comment on étudie la convergence?  Est ce que c'est par déterminer les cas où les deux suites vérifient les limites ?

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 20:58

Bonsoir,

je pense que l'expression \lim_{n\to+\infty} e^{U_{n}}+e^{V_{n}}=2, nous fournira beaucoup d'éléments en utilisant le fait qu'elles soient bor...

Posté par
Rexere : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 21:18

bon on doit donc utiliser les bornes , mais quoi montrer maintenant ? Qu'elles ne doivent pas être sans limite ?  

Posté par
etniopalre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 21:24

   Commencer par montrer que u et v sont bornées puis que u n'a que 0 comme  valeur d'adhérence .

Posté par
jandri Correcteurre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 21:27

Bonjour,
une façon élémentaire de résoudre cet exercice est de montrer d'abord que f(x)=e^x-1-x\geq0.
Ensuite de f(u_n)+f(v_n)\to0 on déduit les limites de u_n et v_n.

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 22:53

Autre facon de faire:

\lim_{n\to+\infty} e^{U_{n}} + e^{V_{n}} = 2

\lim_{n\to+\infty} e^{U_{n}}e^{V_{n}} = \lim_{n\to+\infty} e^{U_{n}+V_{n}} =e^0=1

Donc on peur en déduire \lim_{n\to+\infty} e^{2U_{n}} + e^{2V_{n}} = 2

De mème on peur en déduire \lim_{n\to+\infty} e^{2U_{n}} - e^{2V_{n}} = ???

Puis conclure ...

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 17-11-20 à 22:55

Pardon je voulais écrire  

Donc on peur en déduire \lim_{n\to+\infty} e^{2U_{n}} + e^{2V_{n}} = ???

Posté par
Rexere : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 18:05

Merci bien pour les méthodes et pardon pour ma réponse précédente je ne sais pas comment j'ai pensé que

lim_{-infini} e^x = 1

En tous cas pour ta méthode etniopal on a pas encore l'étudier  je sais le théorème et comment l'utiliser mais je ne crois pas que c'est le but de la question  (Et je pense que j'ai réussi à l'utiliser ) pour ta méthode jandri voici un essaye

on montre ton inégalité par une simple dérivée
la limite est clair

on a
\epsilon \succ 0 \ni n_{0}\in N pour tout n \geq n_{0 } ; -\epsilon \leq f(Un) + f(Vn) \leq \epsilon \Rightarrow -\epsilon \leq f(Un) \leq \epsilon

car f est positif
donc limite de f(Un) est 0
d'où la limite de Un est 0 (J'ai pas pu prouvé ce passage )


   Pour Razes j'ai trouvé ta première limite par un simple au carré mais la deuxième non  

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 18:30

Rexe

Tu sais que   (a+b)^2=\hdots  Et   (a-b)^2=\hdots

Posté par
Rexere : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 19:04

bon ce sont deux identités remarquables

(a+ou-b) ^2 = a^2 +ou - 2ab + b^2

pas encore clair pour moi comment on peut savoir lim e^2un -e^vn

mais en utilisant (a-b) ^2 = (a+b)^2 -4ab   on peut savoir lim(e^2un -e^vn )^2 mais introduire la racine on n'a pas encore vu sa preuve ni son théorème dans le cours

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 20:28

il n y a pas de racines, tu as :
Ce n'est pas  lim(e^2un -e^vn )^2 mais:  lim(e^un -e^vn )^2

Fais le calcul pour voir, on perds pas notre temps pour du bidon, fais un effort de ton coté.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 20:42

Bonsoir,
@Razes,
Tu n'as jamais parlé auparavant lim(e^un -e^vn )^2
Franchement, tes messages de 22h53 et 55 n'étaient pas clairs.
Tu as sans doute essayé de corriger le 1er et fait une erreur de copié-collé.

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 21:02

Bonsoir Sylvieg,

Effectivement, ce n'est pas une limite (C'était un copier/coller)

Simplement: (e^{u_n} -e^{v_n} )^2

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 21:13

en résumé, nous avons:

\lim_{n\to+\infty} e^{U_{n}} + e^{V_{n}} = 2; et : \lim_{n\to+\infty} e^{U_{n}}e^{V_{n}} = 1

(e^{U_{n}} + e^{V_{n}}) ^2=(e^{2U_{n}} + e^{2V_{n}})+2e^{U_{n}}e^{V_{n}} ; que peut on en déduire en passant a la limite?

(e^{U_{n}} - e^{V_{n}}) ^2=(e^{2U_{n}} + e^{2V_{n}})-2e^{U_{n}}e^{V_{n}} ; que peut on en déduire en passant a la limite?

2e^{U_{n}} =(e^{U_{n}} - e^{V_{n}}) +(e^{U_{n}} + e^{V_{n}})
.......

Posté par
Razesre : lim Un + Vn et lim e^Un + e^Vn 18-11-20 à 21:16

Ou directement:

(e^{U_{n}} + e^{V_{n}}) ^2-(e^{U_{n}} - e^{V_{n}}) ^2 =4e^{U_{n}}e^{V_{n}} ; que peut on en déduire en passant a la limite?


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