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limite

Posté par ready (invité) 06-12-06 à 20:10

bonsoir, j'ai une petite limite a déterminer:

(sin() + 3 cos()) /  (cos() - cos(2)) en 2/3+et-

J'ai trouvé (10/9)3 (en faisant un DL et en utilisant le thm de l'Hopital) mais ca me parait bizarre...

merci de bien vouloir m'aider.

Posté par drioui (invité)re : limite 06-12-06 à 21:32

saluttu peuxfaire un changement de variable en posant t=-2/3

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite 07-12-06 à 07:25

Bonjour,

On peut s'en sortir avec les méthodes de lycée : trigonométrie de base et \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

3$\begin{array}{rcl} \\ \frac{\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta-\cos 2\theta} &=& \frac{2\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}{2\sin\frac{3\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}}\\ \\ &=& \frac{\sin\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin\left(\frac{3}{2}\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right)\right)\sin\frac{\theta}{2}}\\ \\ &=& \frac{\sin\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right)}{\theta-\frac{2\pi}{3}}\times\frac{\frac{3}{2}\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right)}{\sin\left(\frac{3}{2}\left(\theta-\frac{2\pi}{3}\right)\right)}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{\sin\frac{\theta}{2}}\\ \\ & \to & 1\times 1\times\frac{2}{3}\times\frac{2}{\sqrt{3}}=\fbox{\frac{4\sqrt{3}}{9}} \\ \end{array}

Autre méthode, elle aussi niveau lycée : reconnaître deux taux d'accroissement
Soit f(\theta)=\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta et g(\theta)=\cos\theta-\cos 2\theta

3$\begin{array}{rcl} \\ \frac{\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta-\cos 2\theta} &=& \frac{f(\theta)-f\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{x-\frac{2\pi}{3}}\times\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{g(\theta)-g\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\\ \\ &\to & \frac{f'\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{g'\left(\frac{2\pi}{3}\right)}=\frac{-2}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}}=\fbox{\frac{4\sqrt{3}}{9}} \\ \end{array}

Sauf erreur.

Nicolas


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