Bonsoir Snowman

Essaie de faire apparaitre des taux d'accroissements.

Kaiser

bonjour

Essaie de trouver un équivalent du numérateur et du dénominateur

Je te conseil de faire un changement de variable pour faire les DLs en 0

En posant u = x-1 ie x = u+1

Au dénominateur tu auras :

D(u) = ln(u+2)-ln(2) = ln(2.(u/2 +1))-ln(2) = ln(u/2 + 1)

Ainsi comme u -> 0

D(u) ~ u/2

Le dénominateur s'écrit :

exp[u² + 1/(u+2)] - e^(1/2) = exp[u²].exp[(1/2).(1/(u/2 +1))] - e^(1/2)

Reste plus qu'a trouver les DLs connaissant les DLs usuels.

Bon courage !!

Romain

Salut Kaiser

Mon idée te parait-elle bonne , parce que sinon, ça ne sert à rien qu'il se lance là dedans !!

:D

Salut Romain

En fait ton idée revient plus ou moins à ce que je proposais (taux d'accroissement ou DL à l'ordre 1 c'est du pareil au même ! ).
Mais bon dans les deux cas il faudra qu'il se coltine un calcul : dérivée ou bien DL.
Je dirais donc que les deux idées se valent ! Maintenant, tout dépend avec quoi il est le plus à l'aise.

Kaiser

Je suis en train de d'étudier les DL donc j'utiliserai les dérivées.

Donc je pose u = x-1 et je fais les taux d'accroissement, je me lance

Je te donne ce que je trouve :

exp[u²] = 1 + u² + o(u³)

1/(u/2 +1) = 1 - u/2 + u²/4 - u³/8 + o(u³)

(1/2).(1/(u/2 +1)) = 1/2 - u/4 + u²/8 - u³/16 + o(u³)

d'où :

Exp[(1/2).(1/(u/2 +1))] = Exp[1/2 - u/4 + u²/8 - u³/16 + o(u³)] = Exp[1/2].Exp[- u/4 + u²/8 - u³/16 + o(u³)]

Or le DL de Exp(t) est connu quand t -> 0

exp(t) = 1 + t + t²/2 + t³/6 + o(t³)

Par composition, on touve finalement :

Exp[(1/2).(1/(u/2 +1))] = Exp[1/2].(1 - u/4 + 5u²/32 - 37u³/384) + o(u³)

Ainsi :

exp[u²].Exp[(1/2).(1/(u/2 +1))] = Exp[1/2].(1 - u/4 + 37u²/32 - 133u³/384) + o(u³)

D'où en en déduit que le numérateur à pour DL :

N(u) = Exp[1/2].(- u/4 + 37u²/32 - 133u³/384) + o(u³)

Donc un équivalent du numérateur est :

N(u) ~ - Exp[1/2].u/4

Finalement :

f(u) ~ -Exp[1/2]/8 = -V(2)/8

sauf erreurs

PS : j'ai poussé les DLs bien trop loin. Autant d'arréter avant !!

Romain

Oups faute de frappe juste sur la fin !!

J'ai presque fait un sans faute :D

Je voulais bien sur mettre :

f(u) ~ -Exp[1/2]/8 = -V(e)/8

Qu'est-ce qu'ils sont jolis tous ces petits DL !

Kaiser

Oui joli

Je dois avouer que jusqu'au produit, je les ai fait à la main.

Mais après, ça à commencé à légèrement me faire mal à la tête !!

Et comme fallait que je finisse, j'ai utilise mathématica

Après je sais pas si je me suis trompé avant.

A vérifier :D

Mais c'est vrai que ça fait jolie ;)

Voila ce que j'ai :



et


donc au final j'ai  =2* et la...

a non c bon j'ai compris merci ^^

Salut Snowman



En posant



Tu as :



Or



donc :



Donc tu trouves finalement que la limite vaut : -V(e)/2

C'est le même résultat que moi puisque je me suis planté dans la conclusion !!

je trouve aussi -V(e)/2

Tu es d'accord ?

Romain