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Limite

Posté par
gui_tou 29-11-07 à 20:47

Bonsoir

Je sèche sur cette petite limite

Citation :
On a \Large \rm f(x)=\fra{x^3}{(1+x^2)Arctan(x)}

Je dois montrer que Cf admet une asymptote oblique en \Large \rm +\infty d'équation \Large \rm y=\fra{2}{\pi}x+\fra{4}{\pi^2}

J'ai donc

\Large \rm \Delta(x)=f(x)-\fra{2}{\pi}x = \fra{\pi x^3-2x.Arctan(x)-2x^3.Arctan(x)}{(1+x^2)Arctan(x)\pi} = \fra{x\[\pi x^2-2Arctan(x)-2xArctan(x)\]}{(1+x^2)Arctan(x)\pi}

J'ai une aide : utiliser \large \rm Arctan(x)+Arctan(\fra{1}{x})=\fra{\pi}{2}


Mais je ne vois pas quoi en faire, ni comment arriver à 3$ \rm \lim_{x\to +\infty} f(x)-\fra{2}{\pi}x = \fra{4}{\pi^2


Merci

Posté par
gui_toure : Limite 29-11-07 à 21:06

Je dois montrer que :

\Large \rm \lim_{x\to +\infty} \fra{x^3(\pi-2Arctan(x))}{(1+x^2)Arctan(x)\pi} = \fra{4}{\pi^2}

Posté par
Nightmarere : Limite 29-11-07 à 21:10

Salut

3$\rm \pi-2Arctan(x)=2\times Arctan\(\frac{1}{x}\) ce qui peut peut être aider

Posté par
Nightmarere : Limite 29-11-07 à 21:12

Oui en fait on conclut assez vite parce qu'au voisinage de +oo, 3$\rm Arctan\(\frac{1}{x}\)\sim \frac{1}{x}

Il reste donc 3$\rm \frac{x^{2}}{(1+x^{2})Arctan(x)\pi}

Posté par
gui_toure : Limite 29-11-07 à 21:28

Salut Jord

Merci pour l'astuce

Je n'ai pas encore vu les équivalents

J'ai donc

\Large \rm \Delta(x) = 2.\fra{x^3.Arctan(\fra{1}{x})}{\pi(1+x^2)Arctan(x)} = 2.\fra{x^3.Arctan(\fra{1}{x})}{(1+x^2)\(\fra{\pi^2}{2}-\pi.Arctan(\fra{1}{x})\)}

Aïe je m'enlise

Par contre ton équivalent 3$\rm%20\frac{x^{2}}{(1+x^{2})Arctan(x)\pi} tend vers 3$\rm%20\frac{2}{\pi^2}

Merci

Posté par
Nightmarere : Limite 29-11-07 à 21:33

Oui il manquait le 2 devant.

bref on s'en sort sans les équivalents en sachant qu'au voisinage de 0, 3$\rm f(x)=f(0)+f'(0)x+x\epsilon(x) avec 3$\rm \epsilon\longrightarrow_{0} 0

Ainsi :
3$\rm Arctan(x)=x+x\epsilon(x)
D'où 3$\rm Arctan(\frac{1}{x})=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\epsilon(\frac{1}{x})

Au final :
3$\rm \Delta(x)=\frac{2x^{2}}{(1+x^{2})Arctan(x)\pi}+\frac{2\epsilon(\frac{1}{x})}{x(1+x^{2})Arctan(x)\pi} et c'est réglé, le premier terme tend vers 4/pi² et le deuxième vers 0

Posté par
gui_toure : Limite 29-11-07 à 21:47

Ah tiens je pense à un truc !

Une question préléminaire à l'exo était de montrer que :

\Large \rm \fbox{\forall x\in\mathbb{R}+,\;x-\fra{x^3}{3} \le Arctan(x) \le x

J'ai donc \Large \rm \fbox{\fra{1}{x} \le Arctan\(\fra{1}{x}\) \le \fra{1}{x}-\fra{3}{x^3}

Posté par
Nightmarere : Limite 29-11-07 à 21:50

Ah ben voila encore mieux

Posté par
gui_toure : Limite 29-11-07 à 22:40

Et comment j'encadre Delta ?

Posté par
Nightmarere : Limite 29-11-07 à 22:41

Ben tu multiplies les 3 membres de l'inégalité par 3$\rm \frac{x^{3}}{(1+x^{2})Arctan(x)\pi} (strictement positif au voisinage de +oo) et par chance ça tend vers 4/pi² des deux côtés.

Posté par
gui_toure : Limite 29-11-07 à 22:42

Ah il ne fallait pas chercher trop loin


Merci encore Jord, bonne soirée

Posté par
Nightmarere : Limite 29-11-07 à 22:55

Avec plaisir, bonne soirée à toi aussi

Posté par
gui_toure : Limite 01-12-07 à 15:57

Salut

A la fin il est demandé de montrer que :

\large \rm \forall x\in\mathbb{R}^{\star}_+, \;0 < f(x) < x

Je dois donc montrer que

\Large%20\rm%200 < \fra{x^2}{(1+x^2)Arctan(x)} < 1

Etude de fonction ou il y a plus simple ?

Posté par
Nightmarere : Limite 01-12-07 à 16:13

Oui a priori je ne vois pas d'autres méthodes, éventuellement à coup de TAF.


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