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Limite

Posté par
DauDau 07-12-07 à 23:09

Bonsoir,

Après de nombreuses minutes de recherche je n'arrive pas à trouver la limite en +00 de :

f(x)= {ln[(x+z)/(x+y)]} / sin((x+z)/(x+y)²)

J'ai essayé de poser X=(x+z)/(x+y), de changer l'expression du sinus (en cos ou multiplication...)Mais je n'abouti a rien !

alors si vous avez une idée pourquoi pas? Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 08-12-07 à 02:32

Bonjour,

5$f(x)=\frac{\ln\frac{x+z}{x+y}}{\sin\frac{x+z}{(x+y)^2}}

Première étape : on s'occupe du sinus, en se souvenant que 3$\lim_{X\to 0}\frac{\sin X}{X}=1

5$f(x)=\ln\frac{x+z}{x+y}\times\frac{1}{\sin\frac{x+z}{(x+y)^2}}
5$f(x)=\frac{\ln\frac{x+z}{x+y}}{\frac{x+z}{(x+y)^2}}\;\times\;\frac{1}{\left(\frac{\sin\frac{x+z}{(x+y)^2}}{\frac{x+z}{(x+y)^2}}\right)}
On pose 3$X=\frac{x+z}{(x+y)^2}\to 0
5$f(x)=\frac{\ln\frac{x+z}{x+y}}{\frac{x+z}{(x+y)^2}}\;\times\;\frac{1}{\left(\frac{\sin X}{X}\right)}
Le second facteur tend vers 1.

Deuxième étape : on s'occupe de logarithme, en se souvenant que 3$\lim_{Y\to 0}\frac{\ln(1+Y)}{Y}=1
5$f(x)=\frac{\ln\left(1+\frac{z-y}{x+y}\right)}{\frac{x+z}{(x+y)^2}}\;\times\;\frac{1}{\left(\frac{\sin X}{X}\right)}

5$f(x)=\frac{1}{\frac{x+z}{(x+y)^2}}\;\times\;\ln\left(1+\frac{z-y}{x+y}\right)\;\times\;\frac{1}{\left(\frac{\sin X}{X}\right)}

5$f(x)=\frac{\frac{z-y}{x+y}}{\frac{x+z}{(x+y)^2}}\;\times\;\frac{\ln\left(1+\frac{z-y}{x+y}\right)}{\frac{z-y}{x+y}}\;\times\;\frac{1}{\left(\frac{\sin X}{X}\right)}
On pose 3$Y=\frac{z-y}{x+y}\to 0
5$f(x)=\frac{\frac{z-y}{x+y}}{\frac{x+z}{(x+y)^2}}\;\times\;\frac{\ln\left(1+Y\right)}{Y}\;\times\;\frac{1}{\left(\frac{\sin X}{X}\right)}
Le deuxième et le troisième facteurs tendent vers 1.

On termine en traitant le premier facteur.
5$f(x)=(z-y)\frac{x+y}{x+z}\;\times\;\frac{\ln\left(1+Y\right)}{Y}\;\times\;\frac{1}{\left(\frac{\sin X}{X}\right)}
Il tend vers z-y

Conclusion :
5$\fbox{f(x)=\frac{\ln\frac{x+z}{x+y}}{\sin\frac{x+z}{(x+y)^2}}\to z-y}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
gui_toure : Limite 08-12-07 à 12:24

Bonjour

Joliii \LaTeX Nicolas

Posté par dellys (invité)re : Limite 08-12-07 à 12:40

Bonjour

En effet, c'est Très joliii   bravo  

w@lid

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 08-12-07 à 13:10

Bonjour. Merci.

Posté par
sarriette Correcteurre : Limite 08-12-07 à 13:43

bonjour à tous,

Un p'tit coucou à Nicolas, tu passes pas souvent mais ça se remarque

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 08-12-07 à 13:49

Salut sarriette !!!

Posté par
DauDaure : Limite 08-12-07 à 19:53

Oula eh ben je m'attendais pas à un truc pareil !
Merci enormement Nicolas, il y a tellement de petites astuces dans votre demonstration qu'il m'a fallut du temps pour tout bien analyser...Mais je pense avoir completement saisi votre demonstration !

Merci encore et bonne continuation.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 09-12-07 à 05:26

Je t'en prie.


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