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limite

Posté par matou (invité) 29-12-04 à 23:59

Salut,

  Je n'arrive pas à déterminer les limites suivantes:

-en 0:
       limx->0((cosx+sinx)(1/x))
-en 1:
       limx->1(x(1/(x-1)))

                         Merci d'avance, Au revoir
                                   MATH

Posté par
Nightmarere : limite 30-12-04 à 00:22

Bonsoir

1)\blue\lim_{x\to 0} (\cos(x)+\sin(x))^{\frac{1}{x}}

Nous pouvons l'écrire :
\blue\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^{\(\frac{1}{x}\ln(\cos(x)+\sin(x))\)

Avec les dl quand x tend vers 0 :
\ln(1+x)\sim x+o(x)

Donc :
\ln(1+(\cos(x)+\sin(x)-1))\sim \cos(x)+\sin(x)-1+o(x)

De plus :
\cos(x)\sim 1+o(x)
et :
\sin(x)\sim x+o(x)
donc :
\ln(1+(\cos(x)+\sin(x)-1))\sim x+o(x)
donc :
\frac{1}{x}\ln(1+(\cos(x)+\sin(x)-1))\sim 1+o(x)

On en déduit :
\blue\fbox{\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^{\(\frac{1}{x}\ln(\cos(x)+\sin(x))\)=\mathrm{e}}

Je travaille sur la suite


Jord

Posté par
Nightmarere : limite 30-12-04 à 00:33

Pareillement :

\red I=\lim_{x\to 1} x^{\(\frac{1}{x-1}\)}=\lim_{x\to 1} \mathrm{e}^{\(\frac{1}{x-1}.\ln(x)\)}

En posant : u=x-1

Alors :
\red I=\lim_{u\to 0} \mathrm{e}^{\frac{1}{u}.\ln(1+u)}

Or , avec les dl :

\ln(1+u)\displaystyle\sim_{u\to 0} u+o(u)

donc :
\frac{1}{u}.\ln(1+u)\displaystyle\sim_{u\to 0} 1+o(u)

Donc :
\red I=e^{1}
c'est a dire :
\red \fbox{I=e}

Posté par
franzre : limite 30-12-04 à 08:28

Je me permets de faire de la correction de correction.
Ce qu'écrit Nightmare est globalement très bon. Cependant, il y a quelques imprécisions

A la place de \ln(1+x)\sim x+o(x) il convient d'écrire \red \ln(1+x)= x+o(x)
Ce n'est pas que du pinaillage car quand on somme des équivalents, on a vite fait de faire des bêtises.

Le reste de la démonstration demeure inchangé à l'exception de
\frac{1}{x}\ln(1+(\cos(x)+\sin(x)-1))= 1+o(\red 1)
qui je pense est un "copier-coller" malencontreux.

Idem our le deuxième exo.



Posté par
Nightmarere : limite 30-12-04 à 10:51

Euh oui effectivement merci franz pour le o(1) , c'est effectivement mon petit o(x) qui était dans la mémoire de mon ordi et qui ressorté avec mon ctrl+V et que j'ai ommis de changer .

Pour ce qui est des équivalences et de l'égalité on m'a toujours appris a faire avec les équivalents je ne sais pourquoi ... Enfin , si les égalités sont plus juste , je les utiliserais à présent


Jord

Posté par
franzre : limite 30-12-04 à 12:52

Il vaut mieux se méfier. En effet l'expression suivante
\cos(x)\relstack \sim {x\to 0} 1+\sqrt x \relstack \sim {x\to 0} 1
est tout à fait exacte.
Cela ne veut pas dire que
\unitlength{1}\picture(275,80){ (0,42){\line(190)}(10,30){\Large \red \cos(x)-1 \relstack \sim {x\to 0} \sqrt x} }

Cela veut simplement dire que {\Large \red \cos(x)-1 \relstack {<<}{x\to 0} \cos x}


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