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limite

Posté par game (invité) 10-05-06 à 21:53

bonjour

je cherche la limite pour x=4 de f(x)=(x-4)/(x²-x-12)

Merci

Posté par Shadyfj (invité)re : limite 10-05-06 à 21:55

Bonsoir, factorise le dénominateur.

Posté par Joelz (invité)re : limite 10-05-06 à 21:58

Bonsoir

Tu as:
f(x)=(x-4)/(x²-x-12)=(x-4)/[(x-4)(x+3)]=1/(x+3)
donc f(x)->1/7 quand x->4.

Joelz

Posté par game (invité)re : limite 10-05-06 à 22:02

ok merci je m'etait compliqué la vie a chercher autrement, et je vien de trouver en faisant la division euclidienne

bonne nuit

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite 11-05-06 à 03:07

Bonjour,

C'est en effet une méthode classique. Voici quelque chose qui peut éventuellement t'aider.

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{e^{x^2}-1}{x^2}=\frac{e^{x^2}-e^0}{x^2-0}\to \exp'(0)=\exp(0)=1

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hôpital
Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que f(b)=g(b)=0 et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que \lim_{x\to b}f(x)=\lim_{x\to b}g(x)=+\infty et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Nicolas

Posté par game (invité)re : limite 11-05-06 à 03:14

waouh

Merci de ton aide, surtout pour la methode different, car yavait plus simple


Juste unne petite question, quand es ce qu'on utilise le second theoreme, dans quel but exactement..

Quand on cherche  la lim de f'(x)/g'(x)??

Mais c'est assez rare tout de meme(enfin je pense), car il faut en plus que x tende vers une borne de l'interval

Game

M

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite 11-05-06 à 03:38

On peut utiliser le (2) à chaque fois que la limite est du genre :
\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Par exemple :
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} (si on a oublié la limite du cours) avec f=\sin, x_0=0, h=x

\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-1}{x^2} avec f=\exp, x_0=0, h=x^2

Nicolas


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