Bonjour Camélia

Pour la 2), ne faut-il pas supposer la continuité uniforme ?

Kaiser

Bonjour kaiser
La continuité uniforme simplifie la vie, mais n'est pas nécéssaire! (Tout au moins je le crois).

... je souffre pour la 1) aussi.

Pour la 2) j'y arrive si on suppose la continuité uniforme. Mais je n'irais pas jusqu'à penser que c'est nécessaire puisque je séche déjà sur la 1)...

Ah d'accord !
Je disais ça parce que l'énoncé que tu proposes m'était familier et dans mes souvenirs, on supposait toujours la continuité uniforme !

On attend demain pour une première indication?

Oui ne gâchons pas le plaisir d'un éventuel mathîlien égaré qui pourrait découvrir ton topic ce soir.

Je pense avoir trouvé un contre-exemple pour la 1).

  Je suis d'accord ; bravo pour avoir trouvé la suite !!

lol tu l'as effacé mais je l'ai lu!

Eh bien, je ne sais pas comment vous faites de la télépathie, mais c'est bien e^p! ou n'importe quel irrationnel!

Oui j'ai réfléchi à cela, je me demande encore quelles autres suites conviendraient.

J'ai envie de donner un nom à cette propriété : au vu de cette propriété, on dit que la suite passe à travers les filets. Qu'en penses-tu ?

Un irrationnel ? Mais alors c'est moins facile de montrer que "ça passe à travers les filets"!

Pour le 1) on peut penser à la fonction indicatrice de l'ensemble des nombres premiers (sauf erreur)

Autrement dit la suite des nombres premiers passe à travers les filets ?

Au fait je ne sais pas si c'est clair avec le décalage : à 17H13 je répondais à kaiser et non à Camélia. Je disais à 17H14 que ce n'est pas aussi évident qu'une  suite de la forme avec irrationnel passe à travers les filets.

Stokastik >Pour ma part, j'avais compris mais pas forcément sur le coup !

Ca ne marche pas avec , si ?

En fait j'ai changé ma terminologie, je préfère "passe à travers les barreaux".

Effectivement, la suite "ne passe pas à travers les barreaux" car une infinité de termes s'écrit sous la forme avec n entier et donc ne tend pas vers 0.

Bonjour.
excusez moi, je débarque et je ne comprends pas vos réponses à la question 1 : quelle est cette fameuse fonction f que vous avez découverte ?
Cordialement RR.

Raymond> on considère la fonction f qui est nulle partout sauf en les avec p entier naturel.

Salut raymond.

Etant donnée une suite , on note la fonction indicatrice de l'ensemble de ses termes . On dit que la suite passe à travers les barreaux (à partir d'un certain rang) si pour tout , la suite est nulle à partir d'un certain rang.

Pour kaiser : merci de m'avoir éclairé, en effet, f répond à la question 1°). En toute honnêteté, je me demande si cet exemple me serait venu à l'esprit
Pour stokastik : merci de m'avoir fait un résumé du problème qui en découle.
Cordialement RR.

On sait que a^b est transcendant si a est algébrique distinct de 0 et 1 et si b est algébrique irrationnel.
Il me semble que, par exemple, la suite : convient.

Je ne connaissais pas ce résultat sur les nombres transcendants.

Plus haut, elhor_abdelali soupçonne la suite des nombres premiers de passer à travers les barreaux. C'est une propriété des nombres premiers connnue telle quelle ou qui se déduit rapidement d'une autre propriété connue ?

Finalement, j'ai l'impression que cet exemple ne marche pas.
En effet, si x s'écrit sous la forme avec k un entier non nul, alors pour tout entier n de la forme pk avec p un entier premier, nx est un entier premier.

Bonjour;
Effectivement kaiser , pour la fonction indicatrice de l'ensemble des nombres premiers il y'a un problème pour les rationnels de la forme mais il me semble qu'on peut remédier à cela en considérant la fonction (sauf erreur bien entendu)

Salut! Me revoilà! Aucune suite d'entiers ne passe à travers les barreaux, car alors f(n*1) ne tend pas vers 0. Mon exemple était bien la fonction caractéristique des e^p. Effectivement, vous avez raison les transcendants sont sûrs et les racines posent problème. J'avoue que je ne m'étais pas lancée dans une recherche exhaustive des contrexemples.
Que fait-on du vrai problème?

Peut-être une indication pour la 2) ?

A propos des suites qui passent à travers les barreaux (disons à termes positifs), nous n'avons que des exemples de suites qui tendent vers +l'infini et même dont l'accroissement entre deux termes consécutifs tend vers +l'infini. En existerait-il une qui ne vérifie pas l'une ou l'autre de ces conditions ?

Voici une indication pour la 2)
Ma solution copnsiste à faire une démonstration par l'absurde en utilisant le théorème des intervalles emboîtés. Etonnant, non?
J'essaierai de réfléchir aux nombreux nouveaux problèmes que vous avez soulevé; après tout c'est tout l'intérêt d'un tel forum!

Le théorème des intervalles emboîtés c'est celui qui dit qu'une intersection strictement décroissante d'intervalles fermés ne contient qu'un point ?

... fermés et bornés pardon, compacts quoi

Salut stokastik. C'est bien lui; en fait j'utilise seulement le fait qu'une suite décroissante d'intervalles fermés bornés non vides a une intersection non vide. Pour que l'intersection soit un singleton il ne suffit pas que ça soit strictement décroissant, il faut que la longueur tende vers 0. Ici, ça alourdirait la démonstration et je n'en ai pas besoin.
Courage!

Ah oui pardon, suite de compacts dont le diamètre tend vers 0, c'est cela.

Bonjour à tous

Bien que ça ne passionne pas les foules, pour ne pas laisser sur le site un problème non résolu, voici ma solution:

On suppose que f ne tend pas vers 0 à l'infini. Alors

Soit donc un tel M et x₁>0 tel que |f(x₁)|>M. Alors, comme f est continue au point x₁, il existe a₁ et b₁ tels que et que |f(x)|>M pour Je pose et je choisis p₁tel que et

Soit maintenant x₂>p₁a₁ tel que |f(x₂)|>M. Je note m₂ le plus grand entier tel que On a alors et Comme f est continue au point x₂,on peut alors trouver c et d tels que et que |f(x)|>M pour x dans [c,d]. Enfin, je pose a₂=c/m₂ et b₂=d/m₂ Je viens de construire un intervalle tel que |f(m₂x)|>M pour x dans

Par récurrence je construis une suite d'intervalles emboîtés [a_k,b_k] et une suite strictement croissante d'entiers m_k tels que |f(m_kx)|>M pour x dans [a_k,b_k]

L'intersection de ces intervalles étant non vide, un élément y de cette intersection vérifie |f(m_ky)|>M pour tout m_k, donc la suite f(ny) NE TEND PAS VERS 0!

Bonjour Camelia,

il existe une preuve rapide qui utilise le théorème de Baire.

Eh bien, voici un topic revenant!
Oui, je sais; cet exo a été proposé dans les années 1970 dans un très savant séminaire sous la forme: une sucette géante contre une démonstration premier cycle donc sans Baire. (J'ai eu la sucette!)

Tu l'as bien mérité

eehhh Camelia! je n'avais jamais vu que tu avais réagi à mes questions, désolé

... aaahhh mais n'importe quoi je mélange tout, ça n'a rien à voir avec mes questions, je suis vraiment dissipé excusez-moi

Salut stokastik

Je parlais de ma question postée le 01/08/2006 à 17:07

Salut stokastik
En effet, je n'avais pas vu la fameuse question! J'y réfléchirai maintenant!

Salut tout le monde,

Camélia >> Pour ceux qui ne veulent pas lire la réponse (parce qu'ils viennent de découvrir ce topic et qu'ils veulent chercher), tu peux donner un (gros) nain dix, stp?

Décidément, c'est un de ces topics qui resortent indéfiniment! je rappelle que c'est mon premier sur l'ile!

INDICE: Utiliser les intervalles emboîtés! (ou le théorème de Baire si on connait, mais c'est moins drôle!)