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Limite avec coefficient binomial

Posté par Profil Ramanujan 05-09-23 à 14:12

Bonjour,
Cet exercice est classé 2 étoiles de difficulté sur 3 qui est le maximum.
Je ne comprends pas l'idée de l'exercice, pour moi on peut directement utiliser la formule de Stirling et traiter la question 2 directement.
Je ne vois pas comment traiter la question 1 sans utiliser la formule de Stirling.
Exercice :
On pose \forall n \in \N \ u_n=\binom{2n}{n} 2^{-2n}.
1) Montrer que la suite \left( (n+1) u_n ^2 \right)_{n \in \N} converge.
2) En déduire \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n.

Posté par
carpediemre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 14:17

salut

et pourquoi ne pas faire l'exercice tel qu'il est demandé ? indépendamment de toute solution alternative (et c'est tant mieux si tu en connais d'autres !)

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 14:32

Mon problème est que je ne comprendre pas l'intérêt de considérer la suite de terme général (n+1) u_n ^2, je ne vois pas ce que ça apporte.
J'ai calculé : (n+1) u_n ^2=\dfrac{n+1}{2^{4n}} \times \dfrac{(2n)!^2}{n!^4}
Mais je ne vois pas quoi en faire.

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 14:45

Bonjour,

Citation :
Je ne vois pas comment traiter la question 1 sans utiliser la formule de Stirling.

Ne pars pas battu !  Regarde de près \binom{2n}{n} et extrais-en toutes les puissances de 2 que tu peux.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 15:22

Ah d'accord.
On a : (2n)!=2n \times (2n-1) \times (2n-2) \times  \cdots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=[ 2n (2n-2) \cdots 4 \times 2 ] \times [2n-1)(2n-3) \cdots 3 \times 1] = \boxed{2^n n! \times [2n-1)(2n-3) \cdots 3 \times 1] }

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 15:22

La partie entre crochet n'est pas simplifiable.

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 15:28

Non, mais elle est gérable. Poursuis.

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 18:11

Ce que je trouve bizarre dans l'ordre des questions, c'est qu'on traite 3) assez facilement sans passer par 2) (et sans utiliser Stirling bien sûr).

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 18:23

2) et 1) voulais-je dire.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 19:43

Posons : v_n=(n+1) u_n ^2.
Alors : \boxed{v_n=\dfrac{n+1}{2^{2n}} \dfrac{ (2n-1)^2(2n-3)^2 \cdots 3^2 \times 1^2}{n!^2}}
Je bloque ici.

Posté par
Ulmierere : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 20:24

(v_n) est de signe ... et pour tout p entier naturel fixé, \dfrac{v_{n+p}}{v_n} = \red{\cdots} tend vers ... lorsque n tend vers l'infini.

Donc la suite ... est une suite de Cauchy.
Donc convergente, parce que \R est complet.
Donc ... converge aussi.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 21:01

Il n'y a pas de suite de Cauchy ou d'espace complet dans le programme actuel de MPSI...
Cet exercice est tiré d'une fiche d'exercices de Christophe Bertault professeur en MPSI.

De plus, sur les suites de Cauchy je ne connais que la définition et 2-3 propriétés et je ne comprends pas pourquoi on calcul \dfrac{v_{n+p}}{v_n} ni pourquoi on regarde le signe de (v_n).

On dit que (u_n) de réels ou de complexes est de Cauchy si \forall \varepsilon >0  \exists N \in \N  \forall p,q \geq N \ |u_p-u_q | < \varepsilon
Dans \R ou \C toute suite de Cauchy est convergente.

modération > ** merci de faire aperçu avant de poster** Ltx corrigé**

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 23:10

Laissons de côté l'intervention d'Ulmière.
On peut continuer à travailler sur u_n. Pour le moment on en est à
u_n=2^{-n}\dfrac{2n-1}{n}\times \dfrac{2n-3}{n-1}\times\cdots\dfrac32\times \dfrac11
Peux-tu écrire ça de manière plus agréable sous la forme d'un produit \prod_{k=1}^n f(k) avec un f(k) sympa ?
Une fois ceci fait, on peut élever u_n au carré pour obtenir  \prod_{k=1}^n f(k)^2, et ça nous pousse à voir s'il n'y a pas un moyen astucieux d'écrire aussi n+1 aussi sous forme d'un produit \prod_{k=1}^n g(k).
Tout ça pour quoi ? Pour se ramener à étudier la convergence de \prod_{k=1}^n f(k)^2g(k) quand n tend vers l'infini, autrement dit la convergence d'un produit infini ... Tu as sans doute déjà vu ce genre de choses, et tu sais que c'est bien d'avoir les facteurs de ce produit infini sous la forme 1 + quelque chose qui tend vers 0.  Une indication sur la forme sympa qu'on aimerait avoir pour f(k) et g(k).

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 05-09-23 à 23:46

Il fallait la trouver l'idée
J'ai déjà fait un exercice sur les produits infinis (chapitre familles sommables), mais ça date et je n'ai pas vraiment vu de cours sur le sujet, mais je vais suivre vos indications.
Je ne connais aucun résultat de cours sur les produits infinis.
On a : \boxed{u_n= 2^{-n} \displaystyle\prod_{k=1}^n \dfrac{2k-1}{k}}

Donc : v_n= (n+1) u_n ^2= (n+1)  \displaystyle\prod_{k=1}^n f(k)^2 avec f(k)=\dfrac{2k-1}{k}}

On a \boxed{(n+1) =  \displaystyle\prod_{k=1}^n  \dfrac{k+1}{k} }

Donc : \boxed{u_n=  \displaystyle\prod_{k=1}^n \left( \dfrac{2k-1}{k} \right)^2 \dfrac{k+1}{k} }}

A parti d'ici je ne sais pas quoi faire.
Ca me semble étrange de devoir passer par la théorie des produits infinis, car c'est hors programme en MPSI...

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 07:51

Tu as oublié le 2^{-n} dans ton calcul.  Et tu as zappé les dernières lignes de mon message :

Citation :
c'est bien d'avoir les facteurs de ce produit infini sous la forme 1 + quelque chose qui tend vers 0.  

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 07:54

Les produits infinis (de termes >0) se ramènent sans peine aux séries en utilisant le logarithme. Les séries sont-elles au programme de MPSI ?

Posté par
jandri Correcteurre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 10:12

Bonjour,

quand je vois un tel exercice classé de difficulté moyenne je pense tout de suite que pour montrer qu'une suite positive converge le cas le plus favorable est celui où la suite est décroissante.

Je commence par calculer \dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{2n-1}{2n} (c'est presque immédiat), puis en posant v_n=(n+1)u_n^2 je calcule \dfrac{v_n}{v_{n-1}}=\dfrac{4n^3-3n+1}{4n^3} (c'est à peine plus long). C'est fini !

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 10:40

Oui c'est nettement plus court que de passer par le produit infini (même si en fait le calcul de Jandri est en fait le calcul des facteurs du produit infini).
Toutefois, l'étude du produit infini montre que la limite est strictement positive (ce que ne fait pas la méthode indiquée par Jandri), et montre ainsi que u_n est de l'ordre de \dfrac1{\sqrt n} (ce que ne demandait pas l'exercice).

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 13:44

GBZM même au niveau où je me place (agrégation interne), l'étude des produits infinis est hors-programme.
Oui on utilise les séries mais les résultats sur les produits infinis sont hors-programme, si un exercices les utilise généralement il démontre les résultats à l'aide de questions intermédiaires.
Il y a un sujet entier sur les produits infinis CCP MP maths 1 2002 qui redémontre tous les résultats.

Jandri merci !
On a : u_n = \dfrac{(2n)!}{n!^2 2^{2n}}
On a \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{(2n+2)! n!^2 2^{2n}}{(2n)! (n+1)!^2 2^{2n+2}}
Donc : \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2(n+1)(2n+1)}{4 (n+1)^2}
\boxed{\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2n+1}{2(n+1)}}

On pose : v_n =(n+1) u_n ^2
\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{(n+2) (2n+1)^2}{4(n+1) (n+1)^2}
Or (n+2) (2n+1)^2=(n+2)(4n^2+4n+1)=4n^3+12n^2+9n+2
Et 4(n+1)^3=4(n^3+3n^2+3n+1)=4n^3+12n^2+12n+4

Donc : \boxed{\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac{4n^3+12n^2+9n+2}{4n^3+12n^2+12n+4} \leq 1}

En effet : 4n^3+12n^2+9n+2 -(4n^3+12n^2+12n+4)=-3n-2 \leq 0

La suite (v_n) est donc décroissante et minorée par 0, elle converge.

Par contre, je ne vois pas comment traiter la question 2, on ne connaît pas la limite de (u_n), on a juste montré qu'elle convergeait.

Posté par
jandri Correcteurre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 13:54

Ramanujan

quand on a montré que la suite (n+1)u_n^2 converge le calcul de la limite de u_n est à la portée d'un débutant !

D'autre part, tu as calculé \dfrac{u_{n+1}}{u_n} mais cela fait moins de calculs avec \dfrac{u_n}{u_{n-1}} (idem avec \dfrac{v_n}{v_{n-1}})

GBZM

je suis d'accord mais si on veut l'ordre de grandeur de u_n il suffit d'ajouter la question : montrer que la suite w_n=nu_n^2 est croissante.

Pour un équivalent de u_n la méthode classique est le passage par les intégrales de Wallis (niveau terminale).

Posté par
carpediemre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 13:56

salut

je suis de loin mais je laisse les cador agir mais tout de même juste en passant :

Ramanujan @ 06-09-2023 à 13:44

au niveau où je me place (agrégation interne), l'étude des produits infinis est hors-programme.
Oui on utilise les séries mais les résultats sur les produits infinis sont hors-programme,

à ce niveau là il n'est plus question de programme ou de hors programme !!

il y a ce qu'on sait et ce qu'on ne sait pas et tout apprentissage de ce qu'on ne sait pas ne peut être que du bonus et un enrichissement !!

ou alors il ne faut pas se frotter aux exercices hors programme ...

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 14:10

Jandri oui ton calcul est plus astucieux.

On a montré que : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (n+1) u_n ^2 = \ell \in \R

J'aimerais utiliser les équivalents.
Je voulais utiliser le résultat de cours suivant, mais on ne sait pas si \ell=0 ou pas.
Etant donné deux suites u et v qui ne s'annulent pas à partir d'un certain rang, on dit que u est équivalente à v si \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{u_n}{v_n}=1. On note alors u \sim v.

Posté par
jandri Correcteurre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 14:36

Avec les questions de l'exercice on obtient seulement u_n=O(1/\sqrt n) mais pas un équivalent de u_n.

Pour obtenir u_n\sim\dfrac C{\sqrt n } on peut utiliser un produit infini comme l'a fait GBZM ou bien montrer que la suite w_n=nu_n^2 est croissante.

Si on veut en plus la valeur de C la méthode la plus élémentaire est la méthode classique des intégrales de Wallis (en fait c'est équivalent à la formule de Wallis).

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 14:47

Bon, je termine mon approche, qui n'était visiblement pas adaptée au niveau de l'exercice.

\large u_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\dfrac1{2k}\right)

\large v_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\dfrac1{2k}\right)^2\left(1+\dfrac1k\right)=\prod_{i=1}^k\left(1-\dfrac3{4k^2}+\dfrac1{4k^3}\right)

\large \ln(v_n)=\sum_{k=1}^n\ln\left(1-\dfrac3{4k^2}+\dfrac1{4k^3}\right)
On a la somme partielle d'une série de terme général équivalent à -\dfrac3{4n^2}, qui converge. Donc v_n converge vers une limite >0.

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 15:03

Coquille à la fin de la deuxième ligne de calculs : il faut bien sûr lire \large\prod_{k=1}^n.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 16:15

GBZM ok je vois mais où démontrez-vous que la limite est strictement positive ?

JANDRI
Montrons que : u_n= O( \dfrac{1}{\sqrt{n}})
Comme (n+1) u_n ^2 converge vers \ell \in \R^{+}, on en déduit que \sqrt{n+1} u_n \longrightarrow \sqrt{l}. La suite (\sqrt{n+1} u_n) est donc convergente donc bornée.
Donc : \boxed{u_n = O( \dfrac{1}{\sqrt{n+1}})=O(\dfrac{1}{\sqrt{n}})}

Montrons qu'il existe C \in \R tel que u_n \sim \dfrac{C}{\sqrt{n}}
Montrons que (w_n) définie par w_n= n u_n ^2 est croissante.
On a : \dfrac{w_n}{w_{n-1}}=\dfrac{2n^2-n}{2n^2-2n} \geq 1.
Donc la suite (w_n) est croissante.
Mais je ne comprends pas le rapport avec l'équivalent.

Pour trouver C je n'ai pas compris le rapport avec les intégrales de Wallis ni comment les utilisr.

Posté par
GBZMre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 16:34

Citation :
où démontrez-vous que la limite est strictement positive ?

Puisque \ln(v_n) converge vers un réel \ell,  v_n=\exp(\ln(v_n)) converge vers ...

Posté par
jandri Correcteurre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 17:23

Ramanujan

Tu as fait une faute de calcul, c'est : \dfrac{w_n}{w_{n-1}}=\dfrac{4n^2-4n+1}{4n^2-4n} > 1

La suite w_n est croissante et majorée puisque w_n<v_n\leq v_1 donc elle converge, sa racine carrée aussi d'où l'équivalent u_n\sim \dfrac C{\sqrt n}

Pour obtenir directement l'équivalent avec la valeur de C on introduit W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nt\,dt et on montre nW_n=(n-1)W_{n-2}\quad(*) en effectuant une IPP dans W_n après avoir écrit (\sin t)(\sin t)^{n-1} (il faudra aussi remarquer que \cos^2t=1-\sin^2t)

On en déduit par récurrence que nW_nW_{n-1}=\dfrac{\pi}2\quad

On montre que la suite W_n est décroissante d'où \dfrac n{n+1}\dfrac{\pi}2\leq nW_n^2\leq \dfrac{\pi}2 puis \lim nW_n^2=\dfrac{\pi}2

On termine en montrant par récurrence avec (*) que W_{2n}=\dfrac{\pi}2u_n (notations de l'exercice) d'où l'on déduit \lim nu_n^2=\dfrac1{\pi}

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 20:38

JANDRI
Ah d'accord merci, mais trouver l'équivalent me semble très difficile comme question elle nécessite énormément de connaissances et d'autonomie.
L'exercice ne demande que la limite, comment trouver simplement la limite de (u_n)?

On a n u_n ^2 \longrightarrow \ell donc \sqrt{n} u_n \longrightarrow \sqrt{\ell} = C
Afin de parler d'équivalents, mon cours dit qu'il faut vérifier que C \ne 0.
Dès lors on aura \sqrt{n} u_n \sim C \iff u_n \sim \dfrac{C}{\sqrt{n}}
Mais je ne sais pas vérifier que \ell >0 ...

Oui j'ai vu dans un exo de sup que \boxed{I_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}}
Montrons par récurrence que : W_{2n}=\dfrac{\pi}{2} u_n
On a W_2=\dfrac{\pi}{4}.
Et \dfrac{\pi}{2} u_1=\dfrac{\pi}{2}  
Supposons que : W_{2n}=\dfrac{\pi}{2} u_n
On a W_{2n+2}=\dfrac{2n+1}{2n+2} W_{2n}= \boxed{\dfrac{2n+1}{2n+2}\dfrac{\pi}{2} u_n }

On remarque que : u_{n+1}=\dfrac{2n+1}{2n+2} u_n
De plus \dfrac{\pi}{2} u_{n+1}=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{2n+1}{2n+2} u_n
Le résultat est démontré par récurrence.

Or W_{2n} ^2 \sim \dfrac{\pi ^2}{4} u_n ^2
Donc n u_n ^2 \sim \dfrac{4 n W_{2n} ^2}{\pi ^2} \sim \dfrac{2}{ \pi ^2} \dfrac{\pi}{2}

Enfin : \boxed{n u_n ^2 \sim \dfrac{1}{\pi}}

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 20:38

GBZM ok merci.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 20:43

jandri @ 06-09-2023 à 13:54

Ramanujan

quand on a montré que la suite (n+1)u_n^2 converge le calcul de la limite de u_n est à la portée d'un débutant !



J'ai toujours le même problème, j'ai : \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (n+1) u_n ^2 = \ell \in \R^{+}
Par continuité de la fonction racine carrée sur \R^{+}, on a : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n+1} u_n = \ell}

Je ne vois pas comment en déduire la limite de (u_n), j'ai peut être une lacune dans mes connaissances sur les suites et les limites.
J'aurais tendance à vouloir passer par les équivalents, mais le cours dit qu'il faut vérifier que la suite constante (\ell) n'est pas nulle.
Or, je ne sais pas le démontrer.

Posté par
jandri Correcteurre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 21:22

Je ne comprenais pas pourquoi tu buttais sur cette question qui est vraiment toute bête.

Il suffit d'écrire u_n=\sqrt{n+1}u_n\times \dfrac1{\sqrt{n+1}} et d'utiliser le cours : la limite d'un produit est égal au produit des limites.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 21:34

En effet, merci !
Je fais attention avant de passer aux équivalents car il y a souvent des pièges.
On a montré que : (n+1) u_n ^2 \longrightarrow \ell \geq 0 car \forall n \in \N \ (n+1) u_n ^2 \geq 0.
On a \sqrt{n+1} u_n \longrightarrow \sqrt{\ell}=C.
Comme : \dfrac{1}{\sqrt{n+1} } \longrightarrow 0, la limite de (u_n) vaut C \times 0=0.

On a montré : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n =0}

Posté par
jandri Correcteurre : Limite avec coefficient binomial 06-09-23 à 21:51

C'est bien cela.
Comme on cherche la limite de u_n et que l'on connait celle de \sqrt{n+1} u_n il est naturel de chercher à exprimer u_n en fonction de \sqrt{n+1} u_n ce qui est immédiat ici.

On peut "passer aux équivalents" dans un produit ou dans un quotient mais jamais dans une somme.
D'autre part on n'obtient jamais un équivalent égal à 0 (on n'a jamais à étudier la suite nulle).


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