Bonsoir tout le monde, j'ai juste une petite question.

Soit f: dérivable. On suppose que f'(x)+kf(x)0 quand x+ pour un certain k ^*₊ .

On se propose de montrer que f et f' tendent vers 0 en +. On fixe pour cela un réel >0.

1. On considère les fonctions:

g:x(f(x)+)e^kx
Et h:x(f(x)-)e^kx

Montrer qu'il existe A₊ tq g et h sont montones sur [A;+[.

2. En déduire que f(x)0 quand x+ et que f'(x)0 quand x+.

3. On suppose maintenant que f'+kf admet une limite finie l en +. Que peut on dire?


Alors voilà, je pense avoir bien réussi la première question en dérivant l'expression de g et en revenant à la définition de la limite avec les epsilons pour montrer que la dérivée était positive (et idem pour h pour montrer que la dérivée est négative).

Ma question porte d'abord sur la question 2, on déduit d'après le théorème de la limite monotone que g et h ont des limites finies ou non. Je pense que je pourrais arriver à montrer que f tend vers 0 si j'arrive à savoir SI g et h ont des limites finies et infinies en même temps… je pourrais ainsi faire une disjonction de cas où je prendrais le cas où g et h ont des limites l1 et l2 finies et un autre cas où g tend vers + et h vers -. Ensuite je pourrais déduire facilement avec l'hypothèse de départ que f'(x) tend vers 0. Voilà [sup][/sup]j'espère pouvoir être un peu éclairé, j'y ai déjà passé beaucoup de temps. Merci