Hello jvais pouvoir t'aider çà tombe bien car j'ai partiel de maths demain et çà portera entres autres sur les DL

Alors, voici ce que dit la formule de Taylor, valable pour toute fonction f(x) :

DL_f(x) =
A noter : f^i ici c'est pas f puissance i mais dérivée ieme de f

Malheureusement, ici elle ne va pas nous servir car il y a plus simple ds ton cas, mais tu aurais avec çà pu retrouver très facilement les DL de cos(x) etc... (enfin les 5-6 DL a connaitre "par coeur" soi-disant..)

Ici en fait on se rends compte que la dérivée de ln(1+x) c'est 1/(1+x) (ln |u| -> u'/u)
donc ce qu'il va falloir faire tout simplement c'est remplacer ln(1+x) par l'intégrale de 1/(1+x), ce qui est strictement la même chose, et faire une division polynomiale de 1 par 1+x par ordre croissant afin de determiner le DL. On s'arrete à l'ordre de ton approximation, par ex. ici 2 + 1 après intégration -> 3

Je m'explique :


On fait notre ptite div polynomiale par ordre croissant a l'ordre 2.

1       |    1+x
-(1+x) | 1 - x
----
= -x
-(-x -x²)
-----
= x²

donc 1/(1+x) = 1 - x + x²  (car d/D=Q+R)

en remplaçant dans la primitive, on a alors :



Voilà tu tiens ton DL de ln(1+x), tu peux y ajouter le + x^3.(x) çà fera plus joli lol

Bon par contre je vois pas trop comment déduire de çà le DL de (-1)^(n-1)/n...
Enfin, j'espere que çà taura un peu aidé

A+

merci beaucoup!
Cependant ... je n'ai pas encore vu les DL!

Bonjour à tous

En fait, je pense que le développement de Taylor dont il est question est, je pense, lié à la formule de taylor-Lagrange ou à la formule de taylor avec reste intégrale.

Kaiser

ha et bien DL = Développement limité, autrement dit, développements a base de qqs formules dont celle de Taylor

la derivé de ln(1+x) est 1/(1+x)

et 1/(1+x) du dois connaitre son developement de taylor non (ou au moin le calculer facilement par la formule de taylor)?

apres la limite il suffit d'appliquer le resultat en un x bien choisit

Et... pourrait-on me montrer svp? Car en plus après, je ne vois pas comment on trouve la limite de cette somme ...

le probleme c'est que... j'ai pas encore fait le cours la dessu donc je connais pas les references exactes ...

cependant :

la derivé n-iemme de 1/(x+1) c'est (-1)^n*n!/(x+1)^(n+1)

donc celle de ln c'est (-1)^(n-1)*(n-1)!/(x+1)^(n)

la derivé n-iemme de ln en 0 est donc  (-1)^(n-1) * (n-1) !

et donc, d'apres la formule de taylor le developement en seri de taylor de ln c'est la somme des (-1)^(n-1)*x^n/n


est donc ta seri correspond exactement au developement de ln appliqué en 1, il me semble donc (c'est la que j'ai un doute) juste de verifié qu'elle converge avant de dire qu'elle vaux ln(1+1)=ln(2) non ?

Appliquons la formule de Taylor avec reste intégrale.

Soit n un entier supérieur à 1.
Alors on a :



En remplaçant x par 1 et en faisant les bonnes majorations, montrer que ta suite converge vers ln(2).

Kaiser

Ah ! trop tard !

non non tu a bien fait de repondre... moi je sais pas comment on fais c'est chose la ^^