Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Limite d'intégrale

Posté par
alexis0587 02-01-08 à 15:59

Bonjour,
Je cherche la limite quand n tend vers l'infini de l'intégrale prise entre 0 et n de (1-t/n)^n selon t.

Il faut écrire (1-t/n)^n=exp(n*ln(1-t/n))
Or quand n->oo, n*ln(1-t/n)->-oo
D'ou (1-t/n)^n->0
On en déduit que la limite en n de l'intégrale précédente tend vers 0.
Est-ce exact?

Après ceci, je devais trouver la limite quand n tend vers l'infini de l'intégrale prise entre 0 et n de (t^x)*(1-t/n)^n selon t.
Et la normalement on doit trouver une expression qui dépend de x. Et moi je trouve 0.
Donc je pense avoir fait une erreur :s
En espérant que quelq'un la trouve...
Merci d'avance

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Limite d'intégrale 02-01-08 à 16:08

C'est : 4$ \int_0^n (1 - \frac{t}{n})^n dt

ou bien : 4$ \int_0^n (\frac{1-t}{n})^n dt

Posté par
alexis0587re : Limite d'intégrale 02-01-08 à 21:31

C'est la première.
Désoler pour le retard et merci de ton aide.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'intégrale. 03-01-08 à 00:56

Bonsoir ;

Pour n\in\mathbb{N}^* , on a 2$\fbox{\int_{0}^{n}\;\left(1-\frac{t}{n}\right)^ndt=[-\frac{n}{n+1}\;\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n+1}]_{0}^{n}=\frac{n}{n+1}} (sauf erreur)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Limite d'intégrale 03-01-08 à 09:08

Poser t/n = x

dt = n dx

t = 0 --> x = 0
t = n --> x = 1

4$ \int_0^n (1 - \frac{t}{n})^n dt = n \int_0^1 (1-x)^n dx = \frac{n}{n+1} [-(1-x)^{n+1}]_0^1 = \frac{n}{n+1}

4$lim_{n\to +\infty} [\int_0^n (1 - \frac{t}{n})^n dt] = lim_{n\to +\infty} [\frac{n}{n+1}] = 1

Sauf distraction.  

Posté par
lyonnaisre : Limite d'intégrale 03-01-08 à 10:38

Bonjour

Autre méthode : On appliques le théorème de convergence dominée :

On définit :

f_n(t) = (1-t/n)^n si 0 <= t < n , 0 sinon

On a donc :

4$ \int_0^n f_n(t) dt = \int_0^{+\infty} f_n(t) dt

1) chaque f_n est continu par morceau sur [0,+oo[

2) Soit t dans R+*, il existe n0 tq pour tout n plus grand que n0, t < n. Ainsi,

pour tout n plus grand que n0, f_n(t) = exp(nln(1-t/n))

Et donc lim(n->+oo, n > n0) f_n(t) = exp(-t)

3) f est continu par morceaux sur ]0,+oo[

4) pour tout n dans IN

pour tout t dans [0,n[ , 0 <= f_n(t) <= exp(-t)

pour tout t dans [n,+oo[ , 0 <= f_n(t) = 0 <= exp(-t)

Donc pour tout n et pour tout t : |f_n(t)| <= exp(-t) = phi(t)

phi est continu, positive, intégrable sur [0,+oo[

Donc :

4$ \lim_{n\to +\infty} \int_0^n f_n(t) dt = \lim_{n\to +\infty} \int_0^{+\infty} f_n(t) dt = \int_0^{+\infty} e^{-t} dt = 1

Mais la méthode directe est quand même plus simple ici !

A+

Posté par
alexis0587re : Limite d'intégrale 03-01-08 à 11:47

Merci pour toutes ces méthodes


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !