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limite d un fct° à deux variables
Bonjour à tous,
Cela va faire plus d'une semaine que je n'arrive pas à montrer l'existence d'une limite :
Soit f:I --> [a,b] une fct° bornée
Pour x 
I et h>0, on note :
f*(x,h) = inf{f(y) | y I et |y - x|<h} et f*(x,h) = sup{f(y) | y I et |y - x|<h}
1. Justifier l'existence de f*(x) = limh-->0+ f*(x,h) et f*(x) = limh-->0+ f*(x,h)
Avez vous une idée ?
Merci
Le raisonnement est le même pour les inf et les sup: je simplifierai donc la notation en se limitant aux inf: f(x,h)=inf(f(y))
f(x,h) est une fonction décroissante de h: en effet si h1<h2 tout y tel que I y-x I<h1 sera tel que I y-x I<h2 donc f(x,h2)<=f(x,h1). Comme elle est par ailleurs minorée, puisque f est bornée, elle admet une limite
Re
excuse moi, mais graphiquement il est clair que la fct° est decroissante en h, mais à l'écrit, je ne vois pas trop comment tu passes de :
"en effet si h1<h2 tout y tel que I y-x I<h1 sera tel que I y-x I<h2 "
à ca :
"donc f(x,h2)<=f(x,h1)"
puisque le voisinage de diamètre h1 est inclus dans le voisinage de diamètre h2, le minimum de f sur le premier est supérieur à celui sur le second, non?
Si un ensemble A est inclus dans un ensemble B, le minimum de toute fonction sur A est supérieur ou égal à son minimum sur B: en effet, le minimum sur B est inférieur ou égal à la valeur en tout point de B, donc en tout point de A (puisque A est inclus dans B), et en particulier au minimum sur A
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