Niveau Maths sup

Limite d'un produit de cosinus

Posté par
Chaosleague 10-09-10 à 16:13

Bonjour,

J'aimerais un peu d'aide pour un exercice, le voici :

Dans la question précédente, on me demande de rappeler pourquoi la limite lorsque x tend vers 0 de sin/x est égale à 1.

Je dois ensuite en déduire que pour teta appartenant à l'ensemble des réel privé des nombres de la forme 2piZ, la limite lorsque n tend vers l'infini du produit de cos(teta/(2^k)) avec k de 1 à n est égal à sin(teta)/teta.

S'il vous plait, ne me donnez pas la réponse, mais simplement une piste afin qu'en utilisant la question précédente je finisse par résoudre celle ci. En fait, j'aimerais surtout connaitre le lien entre les deux questions, parce que pour l'instant je ne vois pas vraiment à quoi ça peut nous servir.

Merci !

Posté par limite d un produit de cosinus 10-09-10 à 16:29

on sait que sinx au voisinage de 0 est
sinx = x - x^3/6 + x^5/120 + o(x^5)
donxc en simpliant par x on a
sinx/x= 1 - x^2/6 + x^4/120 + o(x^4)
en faisant tendre vers zero on a donc
lim sinx/x pour x tend vers on a 1 donc lim sinx/x=1

deduisons en que lim lorsque n tend vers l'infini du produit de cos(teta/2^k)avec k de 1 à nest egal à sin(teta)/teta

Posté par re : Limite d'un produit de cosinus 10-09-10 à 17:20

Merci de ta réponse, j'ai néanmoins besoin de quelques explications supplémentaires .
Tu dis que sinx au voisinage de 0 (soit lim sin x lorsque x tend vers 0) vaut x-x^3/6+x^5/120+o(x^5) mais en fait moi je le sais pas ça, et je ne crois pas être censé le savoir, de plus je ne sais pas ce que veut dire o(x^5), il y aurait il une méthode équivalente utilisant des notions plus simples ?

Posté par re : Limite d'un produit de cosinus 10-09-10 à 17:28

Bonjour

Remarque que

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=(\sin)'(0)=\cos(0)$

Posté par re : Limite d'un produit de cosinus 10-09-10 à 17:47

Merci de ta réponse camélia,
j'ai déjà remarqué cela, puisque j'ai traité la question précédente, mais c'est le lien entre la question précédente et celle ci qui m'échappe!

En fait, j'aimerais savoir en quoi ceci :

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x-0}=(\sin)'(0)=\cos(0)$

me permet d'en déduire ce que je cherche !

Posté par re : Limite d'un produit de cosinus 10-09-10 à 18:15

Ok sujet résolu, une aide était fournie dans une question précédente et je l'ai mal exploitée, merci !

Posté par re : Limite d'un produit de cosinus 10-09-10 à 21:03

En fait j'ai encore une question

Je dois montrer que :
$\prod_{k=1}^{\infty } \cos(\frac{\theta}{2^k})= \frac{sin(\theta)}{\theta}$

est vrai pour $\theta = 2k\pi$

je me demande si j'ai le droit de directement remplacer $\frac{sin(\theta)}{\theta}$ par 1, et également si c'est le bon chemin à suivre pour trouver la solution ...