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Limite d'une fonction

Posté par
mator123
07-01-22 à 23:21

Bonjour tout le monde !

Je bute un peu sur un problème que je cherche depuis quelques jours sans trouver la réponse...

Voici l'exercice :

On considère la fonction f définie sur ]-\infty;-1[ par f(x)=\frac{x²+x}{\sqrt{x^{4}-1}}
1. Montrer que la représentation graphique de f  Cf admet une asymptote horizontale, dont on précisera l'équation.
2. Cf admet-elle pour asymptote verticale la droite d'équation x=-1 ?

Voici ce que j'ai trouvé :
1) Pour la question 1), aucun problème, j'ai calculé la limite de f(x) en -\infty en factorisant au numérateur par x² et dans la racine du dénominateur par (x²-1)(x²+1) pour ensuite factoriser par x² et avoir au final f(x)=\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{(1-\frac{1}{x²})*(\sqrt{1+\frac{1}{x²})}}} et je trouve 1 la limite en -\infty , donc la droite d'équation y=1 et asymptote horizontale de Cf.

2) Pour la question 2, je n'ai vraiment aucune idée, j'ai d'abord essayé de faire apparaître un taux de variation en factorisant le numérateur par x(x+1) pour avoir f(x)=x*\frac{x-(-1)}{\sqrt{x^{4}-1}}
et ensuite calculer \lim_{x->-1^{-}}\frac{\sqrt{x^{4}-1}}{x-(-1)}
puis poser g(x)=\sqrt{x^{4}-1} (g(-1)=0) mais le problème et que la fonction g n'est pas dérivable en -1 donc je ne peux pas calculer cette limite grâce au taux de variation. J'ai ensuite essayé de factoriser la racine mais sans succès...

Pouvez-vous m'éclairer svp ?

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
hekla
re : Limite d'une fonction 07-01-22 à 23:54

Bonsoir

f(x)=\dfrac{x \left( \sqrt{x+1}\,\right)^2}{\sqrt{x+1}\sqrt{(x-1)(x^2+1)}}

Posté par
hekla
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 00:01

Il ne faut pas en tenir compte, car pour x\in ]-\infty~;~-1[

\sqrt{x-1} n' a pas de sens

Posté par
ThierryPoma
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 00:06

Bonsoir

Je ne vois pas le rapport entre la notion d'asymptote et la notion de dérivabilité, voire avec celle de taux d'accroissement. Si la droite d'équation x=-1 est asymptote à \mathcal{C}_f, alors nécessairement

\lim\limits_{x\to-1^-}\,|f(x)|=+\infty

vu l'ensemble de définition de f. Est-ce le cas ?

Hint: tu vas être face à une forme indéterminée dont il va falloir se débarrasser. Fais très attention !

Posté par
hekla
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 00:13

x(x+1)=-x (-x-1)

Si x<-1  alors -x-1 >0

x^2-1=(-x)^2-1=(-x-1)(-x+1)

Posté par
mator123
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 11:24

ThierryPoma @ 08-01-2022 à 00:06

Bonsoir

Je ne vois pas le rapport entre la notion d'asymptote et la notion de dérivabilité, voire avec celle de taux d'accroissement. Si la droite d'équation x=-1 est asymptote à \mathcal{C}_f, alors nécessairement

\lim\limits_{x\to-1^-}\,|f(x)|=+\infty

vu l'ensemble de définition de f. Est-ce le cas ?

Hint: tu vas être face à une forme indéterminée dont il va falloir se débarrasser. Fais très attention !
ThierryPoma @ 08-01-2022 à 00:06

Bonsoir

Je ne vois pas le rapport entre la notion d'asymptote et la notion de dérivabilité, voire avec celle de taux d'accroissement. Si la droite d'équation x=-1 est asymptote à \mathcal{C}_f, alors nécessairement

\lim\limits_{x\to-1^-}\,|f(x)|=+\infty

vu l'ensemble de définition de f. Est-ce le cas ?

Hint: tu vas être face à une forme indéterminée dont il va falloir se débarrasser. Fais très attention !



Je voulais faire apparaitre un taux de variation pour pouvoir calculer la limite de ce taux en calculant la dérivée de la fonction que j'ai fait apparaître, puis inverser et multiplier par -1 ce résultat pour avoir la limite que je cherche. \lim_{x->-1}\frac{g(x)-g(-1)}{x-(-1)}=g'(-1) or la fonction g n'est pas dérivable en -1 donc je ne peux pas calculer ce taux de variation. Je vais continuer mes recherches avec vos aides ThierryPoma et hekla, merci beaucoup ! Je vous tiens au courant.

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 11:32

salut

il suffit d'écrire f(x) = \sqrt {-x - 1} \times \dfrac {-x} {\sqrt {-x + 1} \sqrt {x^2 + 1}}

Posté par
leilaserad
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 12:08

bonjour:
excusez moi de vous déranger personne en répond dans ma discussion sur les probabilités est ce que vous pourriez venir m'aidez dans le sujet proba ex 1 ou proba ex 2 s'il vous plait

Posté par
mator123
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 12:17

carpediem @ 08-01-2022 à 11:32

salut

il suffit d'écrire f(x) = \sqrt {-x - 1} \times \dfrac {-x} {\sqrt {-x + 1} \sqrt {x^2 + 1}}


En factorisant de cette manière, on a toujours une forme indéterminée car \sqrt{-x-1} lorsque x tend vers -1, tend vers 0 donc on a au final 0/0.
carpediem @ 08-01-2022 à 11:32

salut

il suffit d'écrire f(x) = \sqrt {-x - 1} \times \dfrac {-x} {\sqrt {-x + 1} \sqrt {x^2 + 1}}


Merci beaucoup ! Je n'ai pas pensé à effectuer cette factorisation. je trouve que la limite de f(x) tend vers 0 ce qui signifie que Cf n'admet pas d'asymptote verticale.

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 12:19

il faut bien sûr montrer comment on arrive à cela ...

de rien

Posté par
mator123
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 12:30

carpediem @ 08-01-2022 à 12:19

il faut bien sûr montrer comment on arrive à cela ...

de rien



Pas de soucis, je retrouve cette factorisation en écrivant x^{4}=(-x^{2})^{2}

Bonne journée et merci encore !

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 13:31

non ce n'est pas ça ...

Posté par
mator123
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 15:18

carpediem @ 08-01-2022 à 13:31

non ce n'est pas ça ...


Ah mince...
Je retrouve pourtant le même résultat :

\frac{x²+x}{\sqrt{x^{4}-1}}=\frac{-x(-x-1)}{\sqrt{((-x)²)²-1}}=\frac{-x(-x-1)}{\sqrt{((-x)²-1)((-x)²+1)}}=\frac{-x(-x-1)}{\sqrt{(-x-1)(-x+1)(x²+1)}}=\frac{-x}{\sqrt{-x+1}\sqrt{x²+1}}\times \sqrt{-x-1}

Pouvez-vous alors me montrer comment vous avez réussi à trouver ce résultat ? Merci encore pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 16:28

ce que tu as dit n'est pas ce que tu as fait ... et comme j'ai fait ...

tout simplement x^4 = (-x)^4 et non pas ce que tu as dit à 12h30 ...

Posté par
mator123
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 16:32

carpediem @ 08-01-2022 à 16:28

ce que tu as dit n'est pas ce que tu as fait ... et comme j'ai fait ...

tout simplement x^4 = (-x)^4 et non pas ce que tu as dit à 12h30 ...



Ah parfait, merci beaucoup !

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 08-01-22 à 17:47

de rien



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