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Limite d une fonction en 0+... DL ?

Posté par jmix90 (invité) 21-07-05 à 13:27

Bonjour,

J'ai un petit problème avec la limite d'une fonction en 0+ et je vois pas comment faire. Je ferais bien un DL mais je vois pas comment...

La fonction c'est f(x)= 1/(1 - xsin(x)) + 1/(x*ln(x))

Bon voila si quelq'un peut m'aider, merci d'avance !

Posté par
la_brintouillere: Limite d une fonction en 0+... DL 21-07-05 à 15:07

Bonjour,

en faisant un DL au 1er ordre de la partie gauche \frac1{1-x^{\sin x}}, tu devrais arriver à montrer que c'est l'opposé de la partie droite plus un o(1)...
Donc à mon avis la limite c'est 0
En espérant t'avoir été utile

Philippe

Posté par philoux (invité)re : Limite d une fonction en 0+... DL ? 21-07-05 à 15:12

Je pense à 1/2

Philoux

Posté par
la_brintouillere : Limite d une fonction en 0+... DL ? 21-07-05 à 15:18

effectivement, autant pour moi... Après un petit test numérique, ça semble être 1/2.

Posté par
la_brintouillere : Limite d une fonction en 0+... DL ? 21-07-05 à 15:37

...et la démo se fait en développant au 3è ordre le sinus, et on trouve que 1er terme = -2è terme + 1/2 + o(1)

Posté par jmix90 (invité)Tu 21-07-05 à 15:38

Tu peux m'expliquer le DL ?

Je pense aussi à 1/2

Posté par
la_brintouillere : Limite d une fonction en 0+... DL ? 21-07-05 à 15:53

Alors on y va, sans fautes de frappe...

x^{\sin x}=e^{(x-\frac{x^3}6+o(x^3))\ln x}=1+x\ln x - \frac16x^3\ln x+\frac12x^2(\ln x)^2+o(x^3\ln x)
=1+x\ln x +\frac12x^2(\ln x)^2+o(x^2\ln x)
1-x^{\sin x}=-x\ln x -\frac12x^2(\ln x)^2+o(x^2(\ln x)^2)
en passant à l'inverse, il vient
\frac1{1-x^{\sin x}}=\frac1{-x\ln x}\frac1{1+\frac12x\ln x+o(x\ln x)}
je te laisse terminer le DL de \frac1{1+x}, et on tombe sur la limite attendue: \frac12

j'espère que je ne me sus pas planté en route!

Philippe

Posté par
la_brintouillere : Limite d une fonction en 0+... DL ? 21-07-05 à 15:59

j'ai oublié le carré autour du ln à la fin de ma 2è ligne...

Posté par jmix90 (invité)Ouahou 21-07-05 à 16:02

Ouahou, merci beaucoup, je n'avais pas pensé a faire le DL de cette façon !

Merci, merci et merci !


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