Niveau maths spé

Limite d'une intégrale

Posté par
TigerPop 21-08-23 à 16:45

Bonjour,
Je suis actuellement entrain d'essayer un exercice sur la limite d'une intégrale que voici :
Soit f une fonction continue de [0,pi] dans .
Montrer que
$\lim_{n->+\infty }\int_{0}^{\pi}{f(x)|{sin(nx)|dx} = \dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}{f(x)dx}$
J'ai essayé plusieurs choses, comme un passage à l'exponentielle complexe, essayer pour une fonction simple, des changements de variables ect... mais je bloque.
Merci d'avance

Posté par re : Limite d'une intégrale 21-08-23 à 20:34

Bonsoir,

Des pistes :

- On peut utiliser Fourier : la valeur absolue du sinus est égale à 2/pi + "somme_harmoniques_multiples_de_n"
- On permute le signe somme et l'intégrale (justifier)
- Et on montre que la limite de l'intégrale f(x)*sin(nx)=0, et idem avec un cosinus (on prend les harmoniques de |sin(nx)|) : il suffit de majorer |f| par une constante (à justifier aussi).
- On se retrouve avec une somme infinie de termes qui tendent individuellement vers 0, et on veut montrer que cela fait 0. Attention, il faudra justifier ce passage ...

Bon courage

Posté par re : Limite d'une intégrale 22-08-23 à 01:48

Si on ne veut pas passer par Fourier - car vu ce que tu as essayé cela ne semble pas être encore dans ton répertoire, je pense qu'on peut s'en sortir de manière plus élémentaire. A ce titre et à chaud, j'aurais tendance à remarquer que

$\left | \int_0^\pi f(x)|\sin(nx)|\mathrm{d}x-\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\mathrm{d}x\right | \leqslant \left | \int_0^\pi f(x)|\sin(nx)|\mathrm{d}x -\dfrac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left (\dfrac{k\pi}{n}\right ) \right | + \left | \dfrac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left (\dfrac{k\pi}{n}\right ) - \dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\mathrm{d}x \right |$ ,

puis exploiter l'égalité

$\int_0^\pi f(x)|\sin(nx)| \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\underset{\frac{k\pi}{n}}{\overset{\frac{(k+1)\pi}{n}} {\int}}f(x)\sin(nx)\mathrm{d}x$

En travaillant avec Riemann, Heine et des bons vieux epsilon, ça m'a l'air jouable !

Posté par re : Limite d'une intégrale 22-08-23 à 01:59

Je viens de vérifier et je crois que ça marche.

Il convient bien sûr de remarquer que

$\dfrac{2}{n}=\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k\underset{\frac{k\pi}{n}}{\overset{\frac{(k+1)\pi}{n}} {\int}}\sin(nx)\mathrm{d}x$

Posté par re : Limite d'une intégrale 22-08-23 à 02:30

Oui MattZolotarev il me semble aussi que c'est faisable :

$\boxed{1}$ Commencer par Chasles $\Large\boxed{I_n=\displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\left|\sin(nx)\right|dx=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\frac{k\pi}{n}}^{\frac{(k+1)\pi}{n}}f(x)\left|\sin(nx)\right|dx}$ .

$\boxed{2}$ Le changement de variable (affine) $\boxed{t=n(x-\frac{k\pi}{n})}$ donne $\Large\boxed{I_n=\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{t}{n}+\frac{k\pi}{n})\right)\sin(t)dt}$ .

$\boxed{3}$ Utiliser Heine pour montrer que $I_n$ a même limite quand $n$ tend vers l'infini que $\Large\boxed{J_n=\displaystyle\int_0^{\pi}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(\frac{k\pi}{n})\right)\sin(t)dt}$ .

$\boxed{4}$ Conclure avec les sommes de Riemann. _{sauf erreur de ma part bien entendu}

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