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Limite d'une somme

Posté par Profil Ramanujan 04-09-23 à 13:53

Bonjour,
Calculer \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}.
J'ai réfléchi mais je ne trouve pas d'idée pour démarrer.
Merci d'avance.

Posté par
lionel52re : Limite d'une somme 04-09-23 à 13:54

Ecris les premiers termes.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 14:38

Si on pose S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}, alors S_1=1, S_2=\dfrac{3}{2}, S_3=\dfrac{11}{6}.
Mais je ne vois pas où ça mène.

Posté par
flightre : Limite d'une somme 04-09-23 à 16:15

salut

pour ce que tu donne il n'existe pas de formule toute faite

Posté par
lionel52re : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:00

Plutôt écris les termes de la somme.

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:00

Bonjour,
Pas d'accord avec ton calcul pour S_3.
Sinon, tu peux établir une formule de récurrence sur S_n. Ça te donnera peut-être une idée.

Posté par
lakere : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:02

Bonjour,
Je pense qu'il est clair que S_n\geq 1

Pour n\geq 3, on peut prouver que S_n\leq 1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{n-2}{n(n-1)}

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:08

Que de conseils ! Mais bien sûr, c'est le mien le meilleur.

Posté par
lakere : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:19


Effectivement beaucoup de monde. De mon côté, j'abandonne.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:23

D'accord merci.
Lake tu m'as bien aidé aussi !
Posons : S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}.
On a S_{n+1}-S_n=n+1
La suite (S_n) est croissante.
Soit elle est majorée et elle converge.
Soit elle n'est pas majorée et elle diverge vers plus l'infini.

On a : S_n=1+\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n(n-1)}+ \cdots + \dfrac{1}{3 \times \cdots \times (n-1) n} + \dfrac{1}{n!}

Or : \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!} \leq (n-2) \times \dfrac{1}{n(n-1)}.

Donc 1 \leq S_n \leq 1+ \dfrac{1}{n} + \dfrac{(n-2)}{n(n-1)}
Par théorème d'encadrement : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}=1}

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:31

On voit que (S_n) est majorée par 3 donc elle converge, mais un majorant ne donne pas forcément la limite.

Posté par
verdurinre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:38

Bonsoir,
\color{red}S_{n+1}-S_n=n+1 est grossièrement faux et la suite \bigl(S_n\bigr) n'est pas croissante.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:50

En effet.
S_{n+1}-S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{k!}{(n+1)!}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k!}{n!}
S_{n+1}-S_n=1+\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k!}{n!}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k!}{n!}
Donc :
S_{n+1}-S_n=1+S_n( \dfrac{1}{n+1}-1)
Finalement :
\boxed{S_{n+1}=1+ \dfrac{1}{n+1}S_n}

Mais que faire de cette relation de récurrence ?

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:00

Hum, tu as vu que S_n est majoré par 3, n'est-ce pas ?

Posté par
verdurinre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:02

Si tu réussis à montrer que \bigl(S_n\bigr) est bornée tu peux en déduire que sa limite est 1.
Je crois que tu devrais oublié l'indication de lake, elle est vraie mais sans doute trop difficile à démontrer pour toi.

Par exemple \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!} \leq (n-2) \times \dfrac{1}{n(n-1)} est faux

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:06

J'ai utilisé la méthode de @lake.
Avec la méthode de la relation de récurrence, je ne vois pas comment faire.
Si (S_n) converge vers l alorsl=1 d'après la relation de récurrence.
Mais comment montrer que (S_n) converge ?
Je n'arrive même pas à étudier la monotonie.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:12

verdurin @ 04-09-2023 à 19:02

Si tu réussis à montrer que \bigl(S_n\bigr) est bornée tu peux en déduire que sa limite est 1.
Je crois que tu devrais oublié l'indication de lake, elle est vraie mais sans doute trop difficile à démontrer pour toi.

Par exemple \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!} \leq (n-2) \times \dfrac{1}{n(n-1)} est faux


\forall k \in [|1,n-2|] \ \dfrac{k!}{n!} \leq \dfrac{1}{n(n-1)}

Donc : \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!}  \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}  \dfrac{1}{n(n-1)} = \dfrac{n-2}{n(n-1)}

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:14

Si S_n (qui est positif, bien sûr) est majoré par 3 (tu l'as écrit, donc tous as un argument pour ça), par quoi est majoré \dfrac1{n+1} S_n ?

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:24

\dfrac{1}{n+1} S_n \leq S_n \leq 3 donc S_{n+1} \leq 4

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:50

J'attendais que tu dises que S_{n+1}-1 =\dfrac1{n+1}S_n est majoré par \dfrac3{n+1} et que donc ...
Bon, des fois les choses les plus évidentes nous échappent.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:56

Oui c'est vrai.
On a 0 \leq S_{n+1}-1 \leq \dfrac{3}{n+1}
Par passage à la limite, la suite (S_{n+1}-1) converge vers 0 donc la suite (S_n) converge vers 1.

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 05-09-23 à 08:24

Maintenant que c'est vu, je reprends.
Pour tout n\geq 1, S_{n+1}=1+\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{(n+1)!}=1+ \dfrac1{n+1} S_n.
On a 1\leq S_n\leq 2 pour tout n\geq 1. L'inégalité de gauche est claire. Celle de droite se démontre par récurrence : si S_n\leq 2,  alors S_{n+1}=1+\dfrac{1}{n+1}S_n\leq 1+\dfrac12\times 2=2.
Par conséquent |S_{n+1}-1|\leq \dfrac2{n+1} qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La suite (S_n) converge vers 1.

Posté par Profil Ramanujanre : Limite d'une somme 05-09-23 à 12:44

Superbe ! Merci beaucoup.

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 05-09-23 à 13:41

Avec plaisir.


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