Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Limite d'une somme

Posté par
Ramanujan 04-09-23 à 13:53

Bonjour,
Calculer \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}.
J'ai réfléchi mais je ne trouve pas d'idée pour démarrer.
Merci d'avance.

Posté par
lionel52re : Limite d'une somme 04-09-23 à 13:54

Ecris les premiers termes.

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 14:38

Si on pose S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}, alors S_1=1, S_2=\dfrac{3}{2}, S_3=\dfrac{11}{6}.
Mais je ne vois pas où ça mène.

Posté par
flightre : Limite d'une somme 04-09-23 à 16:15

salut

pour ce que tu donne il n'existe pas de formule toute faite

Posté par
lionel52re : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:00

Plutôt écris les termes de la somme.

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:00

Bonjour,
Pas d'accord avec ton calcul pour S_3.
Sinon, tu peux établir une formule de récurrence sur S_n. Ça te donnera peut-être une idée.

Posté par
lakere : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:02

Bonjour,
Je pense qu'il est clair que S_n\geq 1

Pour n\geq 3, on peut prouver que S_n\leq 1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{n-2}{n(n-1)}

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:08

Que de conseils ! Mais bien sûr, c'est le mien le meilleur.

Posté par
lakere : Limite d'une somme 04-09-23 à 17:19


Effectivement beaucoup de monde. De mon côté, j'abandonne.

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:23

D'accord merci.
Lake tu m'as bien aidé aussi !
Posons : S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}.
On a S_{n+1}-S_n=n+1
La suite (S_n) est croissante.
Soit elle est majorée et elle converge.
Soit elle n'est pas majorée et elle diverge vers plus l'infini.

On a : S_n=1+\dfrac{1}{n}+ \dfrac{1}{n(n-1)}+ \cdots + \dfrac{1}{3 \times \cdots \times (n-1) n} + \dfrac{1}{n!}

Or : \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!} \leq (n-2) \times \dfrac{1}{n(n-1)}.

Donc 1 \leq S_n \leq 1+ \dfrac{1}{n} + \dfrac{(n-2)}{n(n-1)}
Par théorème d'encadrement : \boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{n!}=1}

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:31

On voit que (S_n) est majorée par 3 donc elle converge, mais un majorant ne donne pas forcément la limite.

Posté par
verdurinre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:38

Bonsoir,
\color{red}S_{n+1}-S_n=n+1 est grossièrement faux et la suite \bigl(S_n\bigr) n'est pas croissante.

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 18:50

En effet.
S_{n+1}-S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{k!}{(n+1)!}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k!}{n!}
S_{n+1}-S_n=1+\dfrac{1}{n+1}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k!}{n!}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{k!}{n!}
Donc :
S_{n+1}-S_n=1+S_n( \dfrac{1}{n+1}-1)
Finalement :
\boxed{S_{n+1}=1+ \dfrac{1}{n+1}S_n}

Mais que faire de cette relation de récurrence ?

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:00

Hum, tu as vu que S_n est majoré par 3, n'est-ce pas ?

Posté par
verdurinre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:02

Si tu réussis à montrer que \bigl(S_n\bigr) est bornée tu peux en déduire que sa limite est 1.
Je crois que tu devrais oublié l'indication de lake, elle est vraie mais sans doute trop difficile à démontrer pour toi.

Par exemple \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!} \leq (n-2) \times \dfrac{1}{n(n-1)} est faux

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:06

J'ai utilisé la méthode de @lake.
Avec la méthode de la relation de récurrence, je ne vois pas comment faire.
Si (S_n) converge vers l alorsl=1 d'après la relation de récurrence.
Mais comment montrer que (S_n) converge ?
Je n'arrive même pas à étudier la monotonie.

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:12

verdurin @ 04-09-2023 à 19:02

Si tu réussis à montrer que \bigl(S_n\bigr) est bornée tu peux en déduire que sa limite est 1.
Je crois que tu devrais oublié l'indication de lake, elle est vraie mais sans doute trop difficile à démontrer pour toi.

Par exemple \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!} \leq (n-2) \times \dfrac{1}{n(n-1)} est faux


\forall k \in [|1,n-2|] \ \dfrac{k!}{n!} \leq \dfrac{1}{n(n-1)}

Donc : \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{k!}{n!}  \leq \displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}  \dfrac{1}{n(n-1)} = \dfrac{n-2}{n(n-1)}

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:14

Si S_n (qui est positif, bien sûr) est majoré par 3 (tu l'as écrit, donc tous as un argument pour ça), par quoi est majoré \dfrac1{n+1} S_n ?

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:24

\dfrac{1}{n+1} S_n \leq S_n \leq 3 donc S_{n+1} \leq 4

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:50

J'attendais que tu dises que S_{n+1}-1 =\dfrac1{n+1}S_n est majoré par \dfrac3{n+1} et que donc ...
Bon, des fois les choses les plus évidentes nous échappent.

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 04-09-23 à 19:56

Oui c'est vrai.
On a 0 \leq S_{n+1}-1 \leq \dfrac{3}{n+1}
Par passage à la limite, la suite (S_{n+1}-1) converge vers 0 donc la suite (S_n) converge vers 1.

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 05-09-23 à 08:24

Maintenant que c'est vu, je reprends.
Pour tout n\geq 1, S_{n+1}=1+\sum_{k=1}^n \dfrac{k!}{(n+1)!}=1+ \dfrac1{n+1} S_n.
On a 1\leq S_n\leq 2 pour tout n\geq 1. L'inégalité de gauche est claire. Celle de droite se démontre par récurrence : si S_n\leq 2,  alors S_{n+1}=1+\dfrac{1}{n+1}S_n\leq 1+\dfrac12\times 2=2.
Par conséquent |S_{n+1}-1|\leq \dfrac2{n+1} qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. La suite (S_n) converge vers 1.

Posté par
Ramanujanre : Limite d'une somme 05-09-23 à 12:44

Superbe ! Merci beaucoup.

Posté par
GBZMre : Limite d'une somme 05-09-23 à 13:41

Avec plaisir.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1706 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !