Niveau Maths sup

Limite d'une somme

Posté par Ramanujan 06-09-23 à 22:44

Bonsoir,
Cet exercice est classé 2 étoiles de difficultés sur 3.
Je bloque un peu sur la dernière question.
1) On pose : $I_n= \int_{1}^e ( \ln t)^n dt$ pour tout $n \in \N$ .
a) Montrer que la suite $(I_n)$ converge.
b) Montrer que : $I_{n+1}=e-(n+1) I_n$ pour tout $n \in \N$ . En déduire : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} I_n$ .
2) On pose $u_n=\dfrac{(-1)^n I_n}{n!}$ pour tout $n \in \N$ .
a) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout $n \in \N$ .
b) En déduire $\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!}$ .

1.a) $\forall t \in [1,e] \ 0 \leq \ln t \leq 1$ et par croissance de la fonction puissance, on a $0 \leq (\ln t)^n \leq 1$ . Par passage à l'intégrale, on en déduit : $\boxed{0 \leq I_n \leq e-1}$
La suite $(I_n)$ est donc bornée.
Comparons $\forall t \in [1,e]$ les quantités $\ln (t)^{n+1}$ et $\ln(t)^n$ .
Comme $0 \leq \ln(t) \leq 1$ , alors $\ln(t)^{n+1} \leq \ln(t)^n$ .
On en déduit que : $\boxed{\forall n \in \N \ I_{n+1} \leq I_n}$
La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par $0$ , donc elle converge.
1.b) Une IPP fournit facilement le résultat : $\boxed{I_{n+1}=e-(n+1) I_n}$ .
Il suffit de poser $u(t)=( \ln t)^{n+1}$ et $v'(t)=1$ .
On a : $\dfrac{I_{n+1}}{n+1}=\dfrac{e}{n+1}-I_n$
Donc : $I_n=\dfrac{e}{n+1}-I_{n+1}}{n+1}$
On sait que $I_n \longrightarrow \ell$ , or $\dfrac{e}{n+1} \longrightarrow 0$ et $I_{n+1}}{n+1} \longrightarrow 0$ , finalement : $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} I_n=0}$
2.a) Un calcul facile donne : $\boxed{u_{n+1}=\dfrac{e (-1)^{n+1}}{(n+1)!} +u_n}$ .
Je fixe $N \in \N$ .
En sommant je trouve : $\boced{\displaystyle\sum_{k=0}^N \dfrac{(-1)^k}{k!}= \dfrac{1}{e} \left( \dfrac{(-1)^{N} I_{N+2}}{(N+2)!} -1\right)}$
Je bloque sur la limite lorsque $N \longrightarrow + \infty$ de $\dfrac{(-1)^{N} I_{N+2}}{(N+2)!}$ .

Posté par re : Limite d'une somme 07-09-23 à 00:23

Bonjour, tu peux faire apparaître une somme télescopique qui te permettra de calculer la limite.

Posté par re : Limite d'une somme 07-09-23 à 00:49

Ok merci.
On a $\forall k \in \N \ u_{k+1}-u_k = e \dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}$ .
Soit $N \in \N$ .
On a $\displaystyle\sum_{k=1}^{N+1} (u_{k+1}-u_k) = e \displaystyle\sum_{k=1}^{N+1} \dfrac{(-1)^{k+1}}{(k+1)!}$

Donc : $u_{N+2}-u_1=e \displaystyle\sum_{k=0}^{N} \dfrac{(-1)^k}{k!}$

Or $u_1=-1$ donc :
$\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!} = \\ \\ \lim\limits_{N \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{e} \\ ( \dfrac{(-1)^N I_{N+2}}{(N+2)!} +1)$

Comme $I_{N+2} \longrightarrow 0$ et que $(N+2) ! \geq N+2 \longrightarrow + \infty$

Finalement : $\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!} =\dfrac{1}{e}}$

Posté par re : Limite d'une somme 07-09-23 à 09:55

salut

on peut simplement se rappeler que I_n est bornée ...

ce qui suffit pour conclure !

mais fait apparaitre une incohérence de signe entre

Ramanujan @ 06-09-2023 à 22:44

En sommant je trouve : $\boced{\displaystyle\sum_{k=0}^N \dfrac{(-1)^k}{k!}= \dfrac{1}{e} \left( \dfrac{(-1)^{N} I_{N+2}}{(N+2)!} -1\right)}$

Ramanujan @ 07-09-2023 à 00:49

Finalement : $\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!} =\dfrac{1}{e}}$

Posté par re : Limite d'une somme 07-09-23 à 12:40

Oui une suite bornée multipliée par une suite qui tend vers 0 donne une suite qui tend vers 0.

Posté par re : Limite d'une somme 07-09-23 à 13:26

et pour l'incohérence de signe ?

Posté par re : Limite d'une somme 07-09-23 à 15:32

J'avais fait une erreur de calcul dans le signe de $u_1$ que j'ai rectifiée, $u_1=-1$ en fait.

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