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Niveau Maths sup
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Limite d'une somme de Riemann

Posté par
Koelite
25-08-20 à 12:28

Bonjour,

Une question d'un exercice me demande de calculer la limite de la série suivante :
\forall n\in\mathbb{N}, \sum_{k=0}^n \frac{n+k}{n^2+k^2}

J'ai pensé à utiliser le théorème qui encadre la série par des intégrales mais la fonction x\mapsto \frac{n+x}{n^2+x^2} n'est pas toujours croissante ou toujours décroissante (elle croît jusqu'à \frac{n}{2} puis décroît).
Je n'ai jamais eu à calculer la limite d'une telle série : il n'y avait jamais de n dans la somme.
J'ai ensuite pensé à décomposer en :
\forall n\in\mathbb{N}, \sum_{k=0}^n \frac{n}{n^2+k^2}+\sum_{k=0}^n \frac{k}{n^2+k^2}.
Je me suis occupé de chaque somme à part.

Soit n\in\mathbb{N}.
La fonction x\mapsto \frac{n}{n^2+k^2} est décroissante sur \mathbb{R}^+ donc :
\int_0^{n+1} \frac{n}{n^2+t^2}dt \leq \sum_{k=0}^n \frac{n}{n^2+k^2} \leq \frac{1}{n} + \int_0^n \frac{n}{n^2+t^2}dt.
Pour calculer les intégrales, il suffit de faire :
\int_0^{n+1} \frac{n}{n^2+t^2}dt = \int_0^{n+1} \frac{1}{n(1+\frac{t^2}{n^2})}dt=[\frac{1}{n^2}arctan(\frac{t}{n})]_0^{n+1}.
Bref, on se retrouve avec :
\frac{1}{n^2}arctan(1+\frac{1}{n})\leq \sum_{k=0}^n \frac{n}{n^2+k^2} \leq \frac{1}{n}+\frac{\pi}{4n^2}.
 \\ Ce résultat me semble très bizarre, puisque cela voudrait dire (en appliquant le théorème de convergence par encadrements) que la somme tend vers 0.
Or elle tend vers quelque chose près de 0,8 en réalité.

Je ne trouve pas mon erreur, et j'espère que vous la trouverez.
Je vous remercie.

Cordialement,
Koelite.

Posté par
carpediem
re : Limite d'une somme de Riemann 25-08-20 à 12:39

salut

dans une somme de Riemann il y a toujours un facteur 1/n ... et on ne doit pas couper la fraction en deux ...

Posté par
Koelite
re : Limite d'une somme de Riemann 25-08-20 à 13:31

Bonjour carpediem,

Si j'applique ce que vous dites, j'ai :

\sum_{k=0}^n \frac{n+k}{n^2+k^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \frac{n+x}{n+\frac{x^2}{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n \frac{n^2+nx}{n^2+x^2}.

Que faire de ça ? 🤔

Posté par
carpediem
re : Limite d'une somme de Riemann 25-08-20 à 13:42

il faut factoriser par n au numérateur et par n^2 au dénominateur ... puis poser t = x/n pour avoir la fonction à intégrer (limite de la somme de Riemann) entre les bonnes bornes ...

Posté par
perroquet
re : Limite d'une somme de Riemann 25-08-20 à 13:43

Bonjour, Koelite.

Si ton exercice consiste bien à calculer la limite d'une somme de Riemann, comme ton titre l'annonce, carpediem a raison: tu ne cherches pas à reconnaître une somme de Riemann et il faut commencer par ça (reconnaître une somme de Riemann).


Cependant, la méthode que tu utilises pour calculer la première limite est correcte (même si c'est long) et tu as en effet fait une erreur de calcul.

Ton erreur se trouve dans cette ligne

Citation :

\int_0^{n+1} \frac{n}{n^2+t^2}dt = \int_0^{n+1} \frac{1}{n(1+\frac{t^2}{n^2})}dt=[\frac{1}{n^2}arctan(\frac{t}{n})]_0^{n+1}.


En fait:
\int_0^{n+1} \frac{n}{n^2+t^2}dt = \int_0^{n+1} \frac{1}{n(1+\frac{t^2}{n^2})}dt=[\arctan(\frac{t}{n})]_0^{n+1}.

Et on trouve:
\lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{n}{n^2+k^2} = \dfrac{\pi}{4}

Il reste à calculer:  \lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n \dfrac{k}{n^2+k^2}. Et là, tu vas avoir quelques problèmes pour utiliser la même idée parce que la fonction que tu vas envisager n'est pas monotone. On peut s'en sortir, mais ce sera long.

Donc, si tu as un cours sur les sommes de Riemann, il faut revenir sur le message de carpediem ...

Posté par
Koelite
re : Limite d'une somme de Riemann 25-08-20 à 13:44

Merci à vous deux, évidemment il faut reconnaître une somme de Riemann... Je l'ai moi-même écrit en titre.....
Merci



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